高中数学不等式的分类解法

高中数学简单不等式的分类、解法

一、知识点回顾

1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法

解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集

3三个二次之间的关系：

二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228)

二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法

法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法

法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时af(x)?ag(x)?f(x)?g(x)；

0

7.三角不等式解法

利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法

根据解题需要，对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法

利用函数的单调性求解，化为基本不等式（有时还会结合奇偶性）

10.绝对值不等式解法（后面详细讨论） 二、练习：

（1）?3x2?4x?4?0解集为 （?23?x?2 ）（一化二算三写）

（2）12x2?x?32?0解集为

（R） (变为≤，则得?)（无实根则配方） 三、例题与练习

例1已知函数f(x)?(ax?1)?(x?b) ，若不等式

f(x)?0的解集为(?1,3)，则不等式f(?2x)?0的

解集为

(??,?32)?(12,??)

解法一：由根与系数关系求出a??1,b??3，得

f(x)??x2?2x?3，再得出新不等式，求解

解法二：由二次不等式f(x)?0的解集为(?1,3)得

f(x)?0解集为(??,?1)?(3,??)，再由

?2x?(??,?1)?(3,??)得解集

变式1. 已知关于x的不等式x2?mx?n?0的解集是{x|?5?x?1}，则不等式mx?n?0的解集为 （m, n）=（-4，-5），解集为(??,?54) 例2：不等式

x?2x2?3x?2≥0的解集是_____． 答案：（-2，-1）∪[2，+∞）

法一：化为不等式组 法二：数轴标根法 法三：化为整式不等式（注意等价性）

变式2：不等式x3?3x2?x?3?0的解集为 . 答案：(1,3)?(??,?1)

例3：解关于x的不等式ax2?2?2x?ax

分析：化为ax2?(a?2)x?2?0，考虑分类标准：①a与0的关系②

2a与-1的关系 变式3：①解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 解:原不等式可化为（ax-1）（x-1）<0 当a<0时，原不等式解集为(??,1a)?(1,??) 当a=0时，x-1>0, 原不等式解集为(1,+ ∞) 当01时，原不等式解集为(1a,1) ②.解关于x的不等式log2x?1a(a?1)?0

答案：当a>1时，解集为(0,12loga2) 当0

（总结指数与对数不等式解法）

思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.

例

4：已知函数

f(x)???x2?1,(x?0)(x?0)，则不等式?1,f(1?x2)?f(2x)的解集为

分析：考虑解题思路，有两种方向---函数不等

式或分段解不等式

画出函数图像，结合图像易得不等式组

??2x?0或??1?x2?0?2x?01?x?2x得解集为(?1,2?2?1) 变式4：定义在R上的偶函数，当x?0时，f(x)?x2?4x，则不等式f(x)?x的解集为 法一：结合图像求解；法二：化为不等式组

解集为(??,?3]??0??[5,??) 例5：f(x)是定义在R上的偶函数，当x?0时，

f(x)?ex?sinx?a，解不等式f(1?x)?f(2) 分析：x?0时，f?(x)?ex?cosx?0，f(x)在[0,??)上单调增，又它为偶函数，所以，不等式转化为f(1?x)?f(2)，化为1?x?2，得解集为(??,?1)?(3,??)

探究：改为奇函数，解集为 变式5：函数f(x)的定义域为R，

f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)

的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为__________________． 答案：(2,3)∪(－3，－2)

解析 由导函数图象知f(x)在(－

∞，0)上为增函数；在(0，＋∞)上为减函数，故

不等式f(x2－6)>1等价于－2

x∈(2,3)∪(－3，－2)

四、小结 1.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不

漏不重

2.要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不等式，注意数形结合。

五、课后思考题

1.已知函数f(x)的大致图像

如图，则不等式f(x)(x?1)x?0的解集为

?x?1?x分析：化为不等式组???x?0或??1?x?0

?f(x)?0??f(x)?0进而得解集为(?1,0)?(3,??)

2. 已知f(x)???2x(x?0)x2?2x(x?0)，解不等式

?f(f(x))?8 分析：换元，设f(x)?t，先解不等式f(t)?8，得?2?t?0或0?t?3，再转化为关于x的不等式求解， 解集为(?1,log23) 3.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，对任意xf(x1，x2≥0，若x1≠x2，则1)?f(x2)x?0，如1?x2果f??13??＝3 ??

4，且 4f(log1x)?3，那么x的取值8范围为( ) A.??1???0，? B.?12? ?2，2??? C.??1?2，1???∪(2，＋∞) D.?

??0，18???∪??1?2，2???

答案 B 解析：f(log31x)?，由已知可得当x≥0时，f(x)

84是减函数．又f(x)为偶函数，∴f(log1x)?f(log1x)，

88由f(log31x?11x)??f()得log1

84383 ∴?13?log1x?1 ∴1

分析：由题意可得???2?2?a?2，解得 ?(2?a)2?a2?4教后记：知识点回顾用时较多，可简略（5分钟内）