东北师大附中 2020 届高三年级第一次摸底考试数学（文科）试题
一、选择题
1．已知集合 = {1，2，3，4，5，6}， = { ??? =（ ）?| = 2 ， ∈ ??}，则 ?A．?2，4?
B．?1，4? C．?1，2，4? D．?2，4，16?
22．已知i是虚数单位，则 =（ ）
1?i
A．1 ? i B．2 i C．1 + i
D．?i
3．若 = 1.50.2， = 1.50.4， = 0.95，则（ ）A． > >
B． > >
C． > >
D． > >
4．给出下列三个命题：
2 2 ”①“若 > > 0，则 ??> ??的逆命题为假命题；
2
②“ ??≥ 1”是“函数 ??( ??) = 2 + 2 + 1至少有一个零点”的充要条件；
??0 ≤ 0”的否定是“? ∈R，3 > 0”.③命题“? ??0 ∈R，3
其中真命题的个数是（ ） A．0
B．1
|
|
C．2
）
D．3
?
5．函数 ?( ?) = + ???的图象是（
A． B．
C． D．
6．已知函数 ??( ??) = | ? 1| + | + 1|（ ∈R），则 ??( ??)的图象（ ）
A．关于原点对称，但不关于 y 轴对称 B．关于 y 轴对称，但不关于原点对称 C．关于原点对称，也关于 y 轴对称 D．既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称
约等于（
= 265
+ 1 =
）（参考数据：lg2 ≈ 0.3）
7．设 245A．1020
， ，则
B．103
C．106 D．109
8．0.25，若函数 ??( ??)的零点与函数 ??( ??) = 4 + 2 ? 2的零点之差的绝对值不超过 则 ??( ??)可以是（ A． ??( ??) = 4 ? 1 C． ??( ??) = 3 ? 1
）
B． ??( ??) = log3 (2 ? ??)
D． ??( ??) = 2 ? 3
9．若函数
??( ??) = ?
， > ??
在(?∞， + ∞)上为增函数，则 ??的取值范围是（ ）
0，
(3 ? ??) + ，
≤ 0.
2
A．?1，2?
D．?2， 3?
)
3 2 10．(1， 内，已知函数 ?则实数 ??的取值?( ??) = √2 ? 2 ? ?? (0 < ≤ 2)的零点在区间范围是（ A．(0， √3) 3
B．?1，2? C．?1， 3?
）
B．(1， √3 )
C．(√3 ，1)
3
1 D．(，1)
2
11．R 上的函数 ?已知定义在 ?( ??)满足( ? 4) ??′( ??) ≤ 0，且 = ??( + 4)为偶函数，当| ???1 ? 4| < | ?2 ? 4|
时，有（ ）
A． ??(8 ? ???(8 ? ??1 ) ≤ ?2 ) C． ??(8 ? ???(8 ? ??1 ) > ?2 )
B． ??(8 ? ???(8 ? ??1 ) < ?2 )
D． ??(8 ? ???(8 ? ??1 ) ≥ ?2 )
(梯形的周长)2
12．将边长为1m 正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 = 则 ??的最小值为（
16√33
，
梯形的面积
）
32√33
100√3 9
196√3 15
A．
B．
C．D．
二、填空题
13．曲线 ??( ??) = cos ??在 =
处的切线方程为 .
6
1 14．已知函数 ??( ??) = 2 ? 4 ??，) = _.
?(log2 则 ?
√2
15．已知函数 ??( ??)的定义域为 R，对于任意实数 ??，都有 ??(1 + ??) = ? ??(? ??)，且 ??( ??)共有五个零点，
则 ??( ??)的所有零点之和为 .
16．R 的奇函数 ?已知定义域为 ?( ??)，满足 ??( ??) = ?
2 2 ???3
， > 2，
下面四个关于函数
??( ??)
2 ? 2 + 2， 0 < ≤ 2.
的说法：
①存在实数 ??，使关于 ??的方程 ??( ??) = ?? ??有 7 个不相等的实数根；
②当?1 < ????( ???( ??1 < ?2 < 1时，恒有 ?1 ) > ?2 )；
] ?( ??)的最小值为1，则 ∈ [1， ； ③若当 ∈ ?时， ?0， ???
2
33??( ??) = 和 ??( ??) = ??④若关于 ?的方程 ?的所有实数根之和为零，则 = ? ．
2
2
5
其中说法正确的有 三、解答题
．（将所有正确说法的标号填在横线上）
4
．17．在△ABC 中，角 ?的对边长分别为 ， ?， = 3，cos = 5?， ??， ???， ??
（Ⅰ）求sin ??的值；
（Ⅱ）若 = 6，求 ??的值.
18．设函数 ??( ??) = 2 ? 2 + ln ??．
（Ⅰ）当 = ?4时，求 ??( ??)的极值；
（Ⅱ）当 > 时，判断 ??( ??)的单调性.
2 119．已知四棱锥 ? ?? ?? ??? ?? ??? ?? = 60 °，，底面 ?是菱形，∠ ? ?? ?? 为正三角形，平面 ?? ?? ⊥底面
?? ?? ??， ?? = 2．
（Ⅰ）求证： ?? ⊥ ?? ??；
（Ⅱ）求点 ??到平面 ?? ??的距离．
20．在直角坐标系 ?? ??中，动点 ??( ??， ??)（其中 ≥ 2）到点 ??(3，0)的距离的 4 倍与?点 ?到直线 = 2的
3 倍之和记为 ??距离的 ，且 = + 18.
（Ⅰ）求点 ??的轨迹 ??的方程；
|的取值范围.（Ⅱ）设过点 ??的直线 ??与轨迹 ??交于 ??， ??两点，求| ??
( ?) = ?21．己知函数 ???? 2 + ?? ? ln ??．
?( ??)在(0， + ∞)上是减函数，求 b 的取值范围； （Ⅰ）当 = ?2时，函数 ?
???1 + ?2?( ??) = 0的两个根分别为 ?（Ⅱ）若方程 ????1 ， ?2 ( ?1 < ?′ ? ??2 )，求证： ?
2
? > 0.
3
= + ??cos ??，
22．已知在直角坐标系 ?? ???内，直线 ?的参数方程为?
2
??（ ?为参数， ?为倾斜角）．以
吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三上学期第一次摸底考试数学(文)试题及参考答案
