微专题二 数列通项公式的常用求法
一、累加法、累乘法
例1已知数列{an}满足an＋1＝an＋2·3＋1，a1＝3，则数列{an}的通项公式为________． 答案 an＝3＋n－1
解析 由an＋1＝an＋2·3＋1，得
nnna2＝a1＋2×31＋1， a3＝a2＋2×32＋1， a4＝a3＋2×33＋1，
…，
an＝an－1＋2×3n－1＋1，
累加可得an＝a1＋2×(3＋3＋…＋3又a1＝3，
3－3n∴an＝2·＋n＋2＝3＋n－1(n＝1时也成立)．
1－3
例2设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋1－nan＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________. 1答案 2
2
1
2
n－1
)＋(n－1)，
nn解析 原递推式可化为： [(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0， ∵an＋1＋an>0，∴
an＋1n＝， ann＋1
a21a32a43ann－1则＝，＝，＝，…，＝， a12a23a34an－1nan1累乘可得＝，
a1n1
又a1＝1，∴an＝(n＝1时也成立)．
n跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1答案 4－
1
，则数列{an}的通项公式为an＝_______.
n?n＋1?
n解析 原递推式可化为
an＋1＝an＋－，
nn＋1
1
11
11111111
则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－，
122334n－1n1
累加得an＝a1＋1－.
n1
故an＝4－(n＝1时也成立)．
n(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2·an，则an＝______. 答案 2n(n?1)2n
解析 a1＝1，
a2＝2a1， a3＝22a2，
…，
an＝2n－1an－1，
累乘得an＝2·2·2·…·2故an＝2
二、换元法
4131
例3已知数列{an}，其中a1＝，a2＝，且当n≥3时，an－an－1＝(an－1－an－2)，求通项公式
393
n(n?1)22
3
n－1
＝2n(n?1)2，当n＝1时也成立，
.
an.
解 设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为
bn－1＝bn－2，{bn}是一个等比数列， b1＝a2－a1＝－＝，公比为. 1341939
13
13
?1?n－1?1?n＋1
∴bn＝b1·??＝??，
?3??3??1?n故an－an－1＝??，
?3?
an－1－an－2＝??n－1，
3
…，
?1???
a3－a2＝??3，
3a2－a1＝??2，
3
2
?1????1???
31?1?n用累加法得an＝－??，当n＝1时也成立．
22?3?
跟踪训练2已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当n≥3时，an－2an－1＋an－2＝1，求通项公式an. 解 当n≥3时，(an－an－1)－(an－1－an－2)＝1， 令bn－1＝an－an－1， ∴bn－1－bn－2＝1， ∴{bn}是等差数列，
其中b1＝a2－a1＝1，公差为1， ∴bn＝n，
∴b1＋b2＋…＋bn－1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝an－1， ∴a1＝1
n－2n(n－1)，
∴an2－n＋2
n＝2
(n＝1时也成立)．
三、构造等差数列求通项
例4已知数列{an＋1
n}满足an＋1＝3an＋2·3，a1＝3，求数列{an}的通项公式．
解 an＋1＝3an＋1
n＋2·3
，两边同除以3
n＋1
，得
an＋1an3
n＋1
＝3
n＋2， ∴??an?a1
?3n??是以3＝1为首项，以2为公差的等差数列，
∴an3n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴ann＝(2n－1)·3.
例5若数列{a2
n}中，a1＝2且an＝3＋an－1(n≥2)，求它的通项公式an. 解 将a2
2
2
n＝3＋an－1两边平方整理，得an－an－1＝3. 数列{a2
2
n}是以a1＝4为首项，3为公差的等差数列． 故a2
2n＝a1＋(n－1)×3＝3n＋1. 因为an>0，所以an＝3n＋1.
例6已知数列{aan－1
n}中，a1＝1，且当n≥2时，an＝2a＋1，求通项公式an.
n－1解 将aan－1
n＝2a两边取倒数，得
n－1＋11
a－
1
＝2，
nan－1
3
?1?
这说明??是一个等差数列，
?an?
1
首项是＝1，公差为2，
a1
11所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝.
an2n－1
跟踪训练3(1)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3，且a1＝1.
?an?
①证明：数列?n?是等差数列；
?3?
n②求数列{an}的通项公式．
①证明 由an＋1＝3an＋3，两边同时除以3得
nn＋1
，
an＋1an1
3
n＋1an＋1an1
＝n＋，即n＋1－n＝. 33333
?an?a111
由等差数列的定义知，数列?n?是以＝为首项，为公差的等差数列．
333?3?
an11n②解 由(1)知n＝＋(n－1)×＝，
3333
故an＝n·3
n－1
，n∈N.
*
*
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N)，则a10＝________. 答案
1 10
11
解析 易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，∴－＝1(n≥2，n∈N*)，
anan－1
?1?11故数列??是等差数列，且公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，∴a10＝.
a1010?an?
四、构造等比数列求通项
例7已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． 解 由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＋1＝2，
∴{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·3
n－1
，∴an＝2·3
n－1
－1.
n－1
例8在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3解 原递推式可化为
，求通项公式an.
an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)，①
比较系数得λ＝－4，①式为：an＋1－4·3＝2(an－4·3则数列{an－4·3∴an－4·3
n－1
n－1
nn－1
)．
＝－5，公比是2.
}是一个等比数列，其首项为a1－4·3
n－1
1－1
＝－5·2，
4
即an＝4·3
n－1
－5·2
n－1
.
2
*
例9数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an(an>0，n∈N)，则an＝________. 答案 22n－1
2
*
解析 因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an(an>0，n∈N)， log2an＋1
所以log2an＋1＝2log2an，即＝2.
log2an又a1＝2，所以log2a1＝log22＝1.
故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以log2an＝2
n?1n－1
，即an＝22n－1.
2
跟踪训练4(1)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝an(n是正整数)，则它的通项公式是an＝________.
23答案
解析 由题意知an>0，将an＋1＝an两边取对数，得 lgan＋1＝2lgan， 即
lgan＋1
＝2， lgan2
又lga1＝lg3，
所以数列{lgan}是以lg3为首项，公比为2的等比数列， lgan＝lga1·2
n－1
＝lg32n?1，故an＝
32n?1.
(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝答案
1 3－2
n，则an＝________. 3＋4anan解析 由已知可得∴
1
1
an＋1
＝3＋4an3
＝＋4，
ananan＋1a1
3?1?＋2＝＋6＝3?＋2?，
an?an?
1
又＋2＝3，
?1?
∴?＋2?是以3为首项，以3为公比的等比数列， ?an?
11n∴＋2＝3，∴an＝n. an3－2
(3)数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－2an＋3，则an＝________. 12nn－1答案 ·3＋·(－2)
55解析 由已知可设an＋1＋λ·3
n＋1
n＝－2(an＋λ·3)，
5
n
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第六章数列微专题二数列通项公式的常用求法教案(含解析)
