第4章不
第一类换元积分法
定积分
【教学目的】：
1. 理解第一类换元积分法；
2. 会用第一类换元积分法计算不定积分。 【教学重点】：
1. 用第一类换元积分法计算不定积分。 【教学难点】： 1. 凑微分技巧。
【教学时数】：2学时 【教学过程】：
我们先看这样一个例子，求不定积分?e2xdx，因为被积函数e2x是x的复合函数，基本积分公式中没有这种公式，但我们可以把原积分变形，化成某个基本积分公式的形式：
12x1u2xedx?ed(2x)?edu(令2x?u) ???221?e2x?C(将2x?u代回) 211因为(e2x?C)??e2x，所以e2x?C确为e2x的原函数，说明上述解法正确．
22于是有下述定理：
定理1（第一类换元积分法）设函数u??(x)在所讨论的区间上可微，又设
?f(u)du?F(u)?C，
则有?f[?(x)]?'(x)dx??f[?(x)]d?(x)?F[?(x)]?C．
第一类换元积分法的解题步骤：
设要求?g(x)dx,如果被积函数g(x)可化为g(x)?f[?(x)]??'(x)的形式，则
'=g(x)dxf[?(x)]?(x)dx??f[?(x)]d?(x)??f(u)du=F(u)?C?F[?(x)]?C。 ??注第一换元积分法的关键是如何选取?(x)，并将?'(x)dx凑成微分d?(x)的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法．
11（1）利用dx?d(ax)，dx?d(ax?b)，a、b均为常数，且a?0凑微分．
aa例1求?sin(2x?1)dx．
解令u?2x?1，则du?2dx,即dx?1du,所以 21再将u?2x?1代入上式，得?sin(2x?1)dx??cos(2x?1)?C．
2熟练之后，可以省略设?(x)?u这一步，直接进行凑微分． （2）利用xn?1dx?11111 d(xn?a)（n?Z），dx?dlnx，2dx??d，dx?2dx，nxxxxsinxdx??dcosx，cosxdx?dsinx，sec2xdx?dtanx，csc2xdx??dcotx，1dx?darcsinx，dx?darctanx等微分公式凑微分． 221?x1?x1例5求?tanxdx．
sinx1dx???dcosx??lncosx?C． cosxcosx（3）利用三角函数恒等式来凑微分．
解?tanxdx??例7求?sin3xdx．
解?sin3xdx??sin2xsinxdx???sin2xdcosx???(1?cos2x)dcosx
1?cos3x?cosx?C． 3当被积函数是三角函数，而且次数为奇次时，通常把被积函数分为一个偶次和一个奇次相乘的形式，然后再利用凑微分进行积分．
例8求?sin2xdx． 解?sin2xdx??1?cos2x111dx?(?dx??cos2xdx)?(x??cos2xd2x)
222211x?sin2x?C． 24当被积函数是三角函数，而且次数为偶次时，通常利用降幂公式
1?cos2x1?cos2x（cos2x?，sin2x?）对被积函数进行降幂，然后再利用凑微分进行积
22分． ?例10求?sin2xdx． 解方法一?sin2xdx?11sin2xd2x??cos2x?C． 2?2方法二?sin2xdx?2?sinxcosxdx?2?sinxdsinx?sin2x?C． 方法三?sin2xdx?2?sinxcosxdx??2?cosxdcosx??cos2x?C．
在例10中，三种解法的原函数仅差一个常数，都包含到任意常数C中，由此可见，
在不定积分中，任意常数是不可缺少的．
【教学小节】：
本节为不定积分计算的基础。通过本节的学习，掌握使用第一类换元积分法计算不定积分，并借此进一步熟悉基本积分公式。 【课后作业】：
无
高等数学上册教案 换元积分法精编
