第八章向量代数与空间解析几何教案同济大学版高数

第八章向量代数与空间解析几何教案 （同济大学版高数 ）

第八章 向量代数与空间解析几何

第一节向量及其线性运算

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的 意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念

2. 空间两点间的距离公式 3. 向量的概念 4. 向量的运算

教学难点：1.空间思想的建立

2.向量平行与垂直的关系

教学内容：

一、向量的概念

1. 向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向 量）。

2. 量的表示方法有：a、i、F、OM等等。

3. 向量相等a b :如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4. 量的模：向量的大小，记为 a、OM。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

5. 6.

量平行a//b :两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平 行。 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为

、向量的线性运算

1. 加减法a b c:加法运算规律：平行四边形法则（有

时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图

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2. a b c 即 a ( b) c 3.向量与数的乘法

a :设 是一个数，向量a与 的乘积 a规定为

a|

(1) (2) (3)

0时， a与a同向，| 0时， a 0 0时， a与a反向，|

|a|

a| | l|a|

a表示与非零向量a冋方向的单位向量，那么

其满足的运算规律有: 结合率、分配率。 设

a0

定理1：设向量a工0,那么，向量b平行于a的充分必要条件是： 存在唯一的实数 入, 使b= a

例1：在平行四边形ABCD中，设AB a , AD b，试用

a和b表示向量MA、MB、MC和MD ,这里M是平行

四边形对角线的交点。（见图7- 5） 图7-4

1

解：a b AC 2AM，于是 MA （a b）

2 1

由于MC MA, 于是MC 寸（a b）

1

又由于 a b BD 2MD，于是MD - （b a）

由于MB MD , 于是MB 三、空间直角坐标系

1

-（b a） 2

2

1?将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）

如图7- 1,其符合右手规则。即以右手握住 转向正向y轴时，大拇指的指向就是 z轴的正向。

Z轴，当右手的四个手指从正向 X轴以一角度

2

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2.间直角坐标系共有 八个卦限，各轴名称分别为：

x轴、y轴、z轴，坐标面分别

为xoy面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图 7-2所示。图7 -1右手规则演示

7— 2空间直角坐标系图

图7— 3空间两点M,

M2的距离图3.空间点M(x,y,z)的坐标表示方法。

通过坐标把空间的点与一个有序数组 --------- 对应起来。 注意：特殊点的表示

a)在原点、坐标轴、坐标面上的点;

b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。

4.空间两点间的距离。 若

M 1(x1, y1, z1) > M 2(x2, y2, z2)为空间任意两点，

则

MJM2的距离(见图7-3)，利用

直角三角形勾股定理为:

d2

MiM 2

M1N NM2

2

pN

2

NM2

2

而

M1P x2 %

PN|

y2 y1

NM2

Z2乙

所以

M1M2

(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2

特殊地：若两点分别为

M(x,y,z), o(0,0,0)

2

oM

x2 y z2

例1：求证以Mi(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明：皿側2|2

(4 7)2

(3 1)2 (1 2)2 14 M2

2 2 2

2M3 (5 7)2

(2 1)2

(3 2)2

6 M3M1 2

(5 4)2 (2 3)2 (3 1)2

6

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图

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由于IM2M3I

|M3M1，原结论成立。

例2：设P在x轴上，它到P（O, . 2,3）的距离为到点P2（0,1, 1）的距离的两倍，求点 P的 坐标。 解：因为P在x轴上，设P点坐标为（x,0,0）

PP1 捉—VP__3^ Jx2 11|PP2 眩 1\__17 Jx2 2

PR 2 PF2| x 1

Jx2 11 2 __2

所求点为：（1,0,0），（ 1,0,0）

四、利用坐标系作向量的线性运算

1.向量在坐标系上的分向量与向 量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的 点与有

序数组之间建立了—对应关 系，同样地，为了沟通数与向量的研 究，需要建立向量与有序数之间的对 应关系。

设a =

皿1皿2是以M1（X1,y1,zJ为起点、皿2&2,丫2,乙2）为终点的向量，i、j、k分 别表示

图7-5

7-5,并应

沿x, y, z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 用向量的加法规则知：

M1M2 （X2 X）+ （y2 yjj+（z2 Zjk

或

a = ax i + ayj + azk

上式称为向量a按基本单位向量的分解式。

有序数组ax、ay、az与向量a 一一对应，向量 a在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az就 叫做向量a的坐标，

并记为

a = {ax, ay, az}。

上式叫做向量a的坐标表示式。

于是，起点为 皿

1

（捲，丫1,乙）终点为M2（X2,y2,Z2）的向量可以表示为

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M1M2 {X2 兀山 ％,Z2 z}

特别地，点M（x,y,z）对于原点0的向径

OM {x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量a在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az,

向量a在坐标轴上的分向量是三个向量 axi、 ayj、 azk.

2. 向量运算的坐标表示 设 a {ax,ay,az} , b {bx, by, bz}即 a axi ayj azk , b bxi byj 则

(1)加法： a b (ax bx)i (ay by) j @ bz)k

?减法：

a b (ax bx)i (ay by)j d bz)k

?乘数： a ( ax)i ( ay)j ( az)k

? 或

a b {ax

bx，ay by,az bz}

a b {ax bx,ay by, az bz}

a

{ a

x, a

y , az}

?

平行：若a丰0时，向量b//a相当于b a，即

{bx,by,bz} {ax,ay,az}

也相当于向量的对应坐标成比例即

x bby bz

ax ay

az

五、向量的模、方向角、投影 设a {ax,ay,az},可以用它与三个

坐标轴的夹角 （均大于等于0,

小于等于 ）来表示它的方向，称、

为非零向量a的方向角，见图7 — 6，其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。

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