习题二 静电场中的导体和电介质
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一 选择题
1．如图所示，两个同心球壳．内球壳半径为R1，均匀带有电荷Q；外球壳半径为R2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接．设地为电势零点，则在两球之间、距离球心为r的P点处电场强度的大小与电势分别为： (A) E＝ (B) E＝
QQ，U＝． 24??0r4??0rQQ，U＝
4??04??0r2QR1R2 rOP?11???R?r??． ?1?Q?11?Q??? (C) E＝，U＝． 2??4??0?rR2?4??0r (D) E＝0，U＝
Q4??0R2． ［ C］
2．半径分别为R和r的两个金属球，相距很远．用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电．在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比?R / ?r为 ［ D ］
2222
(A) R / r ． (B) R / r． (C) r / R． (D) r / R ．
3．一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度为
??E0，电位移为D0，而当两极板间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质时，电场强
??度为E，电位移为D，则 ［ B］
???????? (A) E?E0/?r，D?D0． (B) E?E0，D??rD0．
???????? (C) E?E0/?r，D?D0/?r． (D) E?E0，D?D0．
4．选无穷远处为电势零点，半径为R的导体球带电后，其电势为U0，则球外离球心距离为r处的电场强度的大小为 ［ C］
R2U0U0RU0U0 (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． 23
Rrrr
5．如图，在一带有电荷为Q的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，相对介电常量为?r，壳外是真空．则在介质球壳中的P点处(设OP?r)的
Q r pO场强和电位移的大小分别为 ［ C ］ (A) E = Q / (4??rr2)，D = Q / (4?r2)．
22
(B) E = Q / (4??rr)，D = Q / (4??0r)． (C) E = Q / (4??0?rr2)，D = Q / (4?r2)．
(D) E = Q / (4??0?rr2)，D = Q / (4??0r2)．
6．一个平行板电容器，充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则两极板间的电势差U12、电场强度的大小E、电场能量W将发生如下变化：［C ］
(A) U12减小，E减小，W减小．(B) U12增大，E增大，W增大． (C) U12增大，E不变，W增大． (D) U12减小，E不变，W不变．
1
7．如图所示，一带负电荷的金属球，外面同心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点P处的场强大小与电势(设无穷远处为电势零点)分别为：［ B］
(A) E = 0，U > 0． (B) E = 0，U < 0． (C) E = 0，U = 0． (D) E > 0，U < 0．
P
8. C1和C2两空气电容器并联以后接电源充电．在电源保持联接的情况下，在C1中插入一电介质板，如图所示, 则 ［ C ］ (A) C1极板上电荷增加，C2极板上电荷减少． (B) C1极板上电荷减少，C2极板上电荷增加． (C) C1极板上电荷增加，C2极板上电荷不变． (D) C1极板上电荷减少，C2极板上电荷不变． 二、填空题
C1 C2 ??
1．一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板间距离增加，则二极板间场强不变，电容 减小． (填增大或
减小或不变)
Q2．真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径和总电荷都相等，则带电球面的电场 r pO能量W1与带电球体的电场能量W2相比，W1 < W2 (填<、=、>)．
3.一个带电荷q、半径为R的金属球壳，壳内是真空，壳外是介电常量为ε的无限大各向同性均匀电介质，则此球壳的电势U =________________．
q 4??R4.A、B为两块无限大均匀带电平行薄平板，两板间和左右两侧充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．已知两板间的场强大小为E0，两板外的场强均为
1E0，方向如图．则A、B两板所带电荷面密度分别为 3?A =______，?2?0?rE0/3 ?B =______．4?0?rE0/3
5.一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距离为d．充电后，两极板间相互作用力为F．则两极板间的电势差为2Fd/C，极板上的电荷为2FdC．
6.圆形平行板电容器，从q = 0开始充电，试画出充电过程中，极板间某点P处电场强度的方向和磁场强度的方向．
iiAE0/3E0BE0/3
?H×?PPE
2
三、计算题
1.若将27个具有相同半径并带相同电荷的球状小水滴聚集成一个球状的大水滴，此大水滴的电势将为小水滴电势的多少倍？(设电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损失．)
1. 解：设小水滴半径为r、电荷q；大水滴半径为R、电荷为Q＝27 q．27个小水滴聚成大水滴，其体积相等
27×(4 / 3)?r＝(4 / 3) ?R
得 R = 3r 小水滴电势 U0 = q / (4??0r) 大水滴电势 U?
2．半径为R1的导体球，带电荷q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内、外半径分别为R2 = 2 R1，R3 = 3 R1，今在距球心d = 4 R1处放一电荷为Q的点电荷，并将球壳接地(如图所示)，试求球壳上感生的总电荷． 解：应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为
3
3
Q27qq??9?9U0?
4??0R4??0?3r?4??0r?? E?qr/4??0r3 (R1＜r＜R2)
??
R2 R1 R3 d Q O q 设大地电势为零，则导体球心O点电势为：
U0??R2R1qEdr?4??0?R2R1qdr?4??0r2?11???? ?R??1R2?根据导体静电平衡条件和应用高斯定理可知，球壳内表面上感生电荷应为 －q． 设球壳外表面上感生电荷为Q'． 1分 以无穷远处为电势零点，根据电势叠加原理，导体球心O处电势应为：
U0??QQ?qq???????dR? RR321??假设大地与无穷远处等电势，则上述二种方式所得的O点电势应相等，由此可得Q?=－3Q / 4
14??0
故导体壳上感生的总电荷应是－[( 3Q / 4) +q]
3. 电荷以相同的面密度?分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V．
(1) 求电荷面密度?．
(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度应为多少，与原来的电荷相差多少？
-122 2
［电容率?0＝8.85×10 C/(N·m)］
解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即
?1?q1q2?1?4?r12?4?r22???????r1?r2? U0? ?????4???r??4??0?rrr02?0?12?1?U?-92
??00＝8.85×10 C / m
r1?r2 (2) 设外球面上放电后电荷面密度为??，则应有
3
?? U0 即 ????1?0??r1???r2?= 0
r1? r2外球面上应变成带负电，共应放掉电荷 q??4?r22???????4?r22???1????4??r2?r1?r2??4??0U0r2＝6.67×10-9 C
r1? ??r2?
4
习题二及答案
