§3 定积分的简单应用
课后训练案巩固提升
A组
1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )
A.∫?? f(x)dx B.|∫????(??)d??| C.∫?? |f(x)|dx D.以上都不对
解析:当f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫?? f(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫?? f(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确. 答案:C 2.曲线y=1-A.4 C.2
162
x与x轴所围成的图形的面积是( ) 81??
??
??????
B.3 D. 949452解析:曲线与x轴的交点为(-,0),(,0).
故所求面积
9
162
S=∫49 (1-81??)dx -4=(??-答案:B 3.
163??)243|
949-4=[-
91693
×()]×2=3. 42434
如图,由函数f(x)=ex-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( ) A.e2-2e-1 B.e2-2e C.
e2-e
2D.e2-2e+1
解析:由已知得S=∫1 f(x)dx=∫1 (ex-e)dx
2
2
2
=(ex-e·x)|1=e2-2e.
答案:B
4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )
28π 34πC. 3A.B.32π D.3π
2
2
2
解析:所求圆台的体积V=∫1 π·(2x)2dx=π∫1 4x2dx=4π·x3|1=
1
34π28π(8-1)=. 33答案:A
5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
1
41C. 6A.
151D. 7B. ??=√??,
解析:由{得O(0,0),B(1,1).
??=??,
则S阴影=∫0 (√??-x)dx =(??2-23??21211
)|=?=.
320326??
阴影
1
故所求概率为答案:C
??1
1
=6=.
正方形
166.设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若∫0 f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为 . 解析:∵(??3+????)'=ax2+c,
1
∴∫0 f(x)dx=∫0 (ax2+c)dx=(3??3+????)|1 0
2=+c=a??0+c,
√3√31
??
31
??
??3解得x0=
√33或x0=-
3(舍).
答案:7.
3
在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 .
解析:S=∫1 (3-)dx+∫1 (3-x)dx
323=(3x-ln x)|11+(3??-??)|1
1
1
??3
312=3-(1-ln)+(9-×32)?(3-) =4-ln 3. 答案:4-ln 3
8.计算由y2=x,y=x2所围成图形的面积.
131212
??2=??,
解如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{得出交点的横坐标为x=0或x=1.
??=??2,因此,所求图形的面积
11231
S=∫0 (√??-x2)dx,又因为(??2-??3)'=??2-x2,所以
33231
S=(??2-??3)
33|
10
=
211
?=. 3339.有一根弹簧,原长50 cm,每伸长1 cm需要5 N力,如果把它从60 cm拉伸到80 cm长,那么拉力所做的功为多少? 解设弹簧弹力系数为k,则F(x)=kx.
由F(x)=5 N,x=1 cm知k=5.故F(x)=5x.
弹簧由50 cm伸长到80 cm时,弹簧实际伸长了30 cm, 此时拉力做的功为∫0 F(x)dx=∫0 5xdx =x2|30=×900=2 250. 0
弹簧由50 cm伸长到60 cm时,弹簧实际伸长了10 cm, 此时拉力做功W=∫0 F(x)dx=∫0 5xdx=×100=250.
所以将弹簧从60 cm拉伸到80 cm长时,F(x)所做的功为2 250-250=2 000(N·cm)=20(J). 10.求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积. ??2=2??,解由方程组{得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).
??=4-??
10
10
30
30
525252
方法一:选x作为积分变量,由图可得S=????1+????2.
在A1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2??,下部分方程为y=-√2??, 所以????1=∫0 [√2??-(-√2??)]dx =2√2∫0 ??2dx=2√2·??2|2=0
2
2
1
23
316. 3
数学高中北师大版选修2-2课后习题：4.3 定积分的简单应用
