2020高中数学竞赛标准讲义：第四章：几个初等函数的性质

2020高中数学竞赛标准讲义：第四章：几个初等函数的性质

一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a?1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为〔0，+∞〕，当01时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点〔0，1〕。

1mm?11m?nnn2．分数指数幂：an?a,an?a,a?n,an?。

mnaa3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a?1)的函数叫做对数函数，其定义域为〔0，+∞〕，

值域为R，图象过定点〔1，0〕。当01时，y=logax为增函数。 4．对数的性质〔M>0, N>0〕； 1〕ax=M?x=logaM(a>0, a?1)； 2〕loga(MN)= loga M+ loga N；

M3〕loga〔〕= loga M- loga N；4〕loga Mn=n loga M；，

Nlogcb15〕loga nM=loga M；6〕aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c?1).

nlogcaa5. 函数y=x+〔a>0〕的单调递增区间是??,?a和a,??，单调递减区间为?a,0和

x0,a。〔请读者自己用定义证明〕

6．连续函数的性质：假设a

例1 a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，那么f(x)是关于x的一次函数。 因此要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0〔因为-10， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 因此f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.

????????例2 〔柯西不等式〕假设a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，那么〔?a〕〔?bi2〕·

2ii?1i?1nn≥(?aibi)2，等号当且仅当存在??R，使ai=?bi, i=1, 2, …, n时成立。

i?1n【证明】 令f(x)= 〔?a〕x-2(?aibi)x+?b=?(aix?bi)2,

2in2

nn2ini?1i?1i?1i?1因为?ai2>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，

i?1n因此△=4(?aibi)-4〔?a〕(?bi2)≤0.

2ii?1i?1i?1nnn展开得〔?a〕(?b)≥(?aibi)2。

2i2innni?1i?1i?1等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在?，使ai=?bi, i=1, 2, …, n。

1??1???例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=?x???的最小值。 y???x??y??xy111??1?xy????【解】u=?x???=xy+≥xy++2·y?? ??yxxyxyyxx??y??1=xy++2.

xy(x?y)2c2c21?令xy=t，那么0

44c4cc24c当x=y=时，等号成立. 因此u的最小值为+2+2.

4c22．指数和对数的运算技巧。

q例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。

p【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，那么p=9 t , q=12 t , p+q=16t，

?4??4?因此9 t +12 t =16 t，即1+?????.

?3??3?1?5q12t?4?. 记x=?t???，那么1+x=x2，解得x?2p9?3?qq1?5. 又>0，因此=2pptt2t例5 关于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，假设ax=by=cz=70w，且证：a+b=c.

【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

111111因此lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，

ywxwwz?111?11111???， ?相加得(lga+lgb+lgc)=?lg70，由题设????xyzww?xyz?因此lga+lgb+lgc=lg70，因此lgabc=lg70. 因此abc=70=2×5×7.

假设a=1，那么因为xlga=wlg70，因此w=0与题设矛盾，因此a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，因此只有a=2, b=5, c=7. 因此a+b=c.

例6 x?1, ac?1, a?1, c?1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得

logax2logax， logax??logaclogab1111???，求xyzw因为ac>0, ac?1，因此logab=logacc2，因此c2=(ac)logab.

注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。

解此类方程的要紧思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范畴的讨论。 例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.

?1??2??5??1??2??5?【解】 方程可化为????????=1。设f(x)= ????????, 那么f(x)在(-∞,+

?2??3??6??2??3??6?∞)上是减函数，因为f(3)=1，因此方程只有一个解x=3.

x?y??y12?x+

例8 解方程组：?x?y〔其中x, y∈R〕. 3??x?y?(x?y)lgx?12lgy【解】 两边取对数，那么原方程组可化为?. ①②

(x?y)lgy?3glx?2

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，因此[(x+y)-36]lgx=0. 由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，因此y2+y-6=0. 又y>0，因此y=2, x=4.

??x?1??x2?4因此方程组的解为?1 . ;???y1?1??y2?2例9 a>0, a?1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范畴。

?(x?ak)2?x2?a2?【解】由对数性质知，原方程的解x应满足?x?ak?0.①②③

?x2?a2?0?假设①、②同时成立，那么③必成立，

?(x?ak)2?x2?a2故只需解?.

?x?ak?0由①可得2kx=a(1+k2)， ④

a(1?k2)1?k2

当k=0时，④无解；当k?0时，④的解是x=，代入②得>k.

2k2k

假设k<0，那么k2>1，因此k<-1；假设k>0，那么k2<1，因此0

三、基础训练题

1．命题p: 〝(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y〞是命题q:〝x+y≥0”的_________条件。 2．假如x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，那么x1+x2=_________.

3．f(x)是定义在R上的增函数，点A〔-1，1〕，B〔1，3〕在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，那么不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。

1?a2

4．假设log2a<0，那么a 取值范畴是_________。

1?a

xxxxxxa??5．命题p: 函数y=log2?x??3?在[2，+∞〕上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的

x??值域为R，那么p是q的_________条件。

6．假设00且a?1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7．f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，那么函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。

11?8．假设x=，那么与x最接近的整数是_________。 11log1log133251??19．函数y?log1???的单调递增区间是_________。

1?x1?x?2?x?1??3??的值域为_________。 ?x?,2????2?x?2x?5??2??11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.假设f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范畴。

lg2x12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？

lg(x?a)四、高考水平训练题

8

?1+lg(x2-1)的定义域是_________. 1．函数f(x)=x10．函数f(x)=

?1?2．不等式x2-logmx<0在x∈?0,?时恒成立，那么m的取值范畴是_________.

?2?3．假设x∈{x|log2x=2-x}，那么x2, x, 1从大到小排列是_________.

1?x?a?b?4. 假设f(x)=ln，那么使f(a)+f(b)=f??_________.

1?ab1?x??

a??5. 命题p: 函数y=log2?x??3?在[2，+∞〕上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的

x??值域为R，那么p是q的_________条件.

6．假设00且a?1，比较大小：|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7．f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，那么函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.

11?8．假设x=，那么与x最接近的整数是_________. 11log1log133251??19．函数y=log1???的单调递增区间是_________.

1?x1?x?2?x?1??3??的值域为_________. ?x?,2????2?2x?2x?5????11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。假设f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范畴。

lg2x12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？

lg(x?a)10．函数f(x)=

四、高考水平训练题 1．函数f(x)=

8

?1+lg(x2-1)的定义域是__________. x

?1?2．不等式x2-logmx<0在x∈?0,?时恒成立，那么m的取值范畴是 ________.

?2?3．假设x∈{x|log2x=2-x}，那么x2, x, 1从大到小排列是________.

1?x?a?b?4．假设f(x)=ln，那么使f(a)+f(b)=f??成立的a, b的取值范畴是________.

1?ab1?x??10231q?，5．an=logn(n+1)，设?其中p, q为整数，且(p ,q)=1，那么p·q的值为_________. ploga100n?2n6．x>10, y>10, xy=1000，那么(lgx)·(lgy)的取值范畴是________.

7．假设方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，那么实数k的取值范畴是________.

x?1?|lg|x?1||8．函数f(x)=?的定义域为R，假设关于x的方程f-2(x)+bf(x)+c=0有7个不

x?1?0同的实数解，那么b, c应满足的充要条件是________.

〔1〕b<0且c>0；〔2〕b>0且c<0；〔3〕b<0且c=0；〔4〕b≥0且c=0。

1??19．f(x)=?x??x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t?0)，那么F(x)是________函数〔填奇偶性〕.

?2?12??1?x??a?b??a?b?ff10．f(x)=lg?，假设=1，其中|a|<1, |b|<1，那么f(a)+f(b)=________. ?????=2，

?1?x??1?ab??1?ab?11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。

?a?b?12．设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0

2??〔1〕a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；〔2〕3

13．设a>0且a?1, f(x)=loga(x+x2?1)(x≥1)，〔1〕求f(x)的反函数f-1(x)；〔2〕假设

n?n3?3f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范畴。

2五、联赛一试水平训练题

1．假如log2[log1(log2x)]= log3[log1(log3x)]= log5[log1(log5z)]=0，那么将x, y, z从小到大排列

235为___________.

2．设对任意实数x0> x1> x2> x3>0，都有logx1993+ logx1993+ logx1993> klogx1993恒成

01020x1x2x3x3立，那么k的最大值为___________.

3．实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，那么

1Smax?1Smin的值为___________.

4．0

5．用[x]表示不超过x的最大整数，那么方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.

6．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a, b, c中的最大数为M，那么M的最小值为___________.