2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题12 数列

1、（2000一试4）给定正数p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0 （ ）

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同相异实根 (D)有两个异实根

2、（2003一试1）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的

2003项是（ ）

(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【解析】C

22

【解析】45=2025，46=2116．

在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．

[来源:学&科&]【解析】由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2．

n－2n－1

在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2次．第n位则1出现2次． ∴ Sn=2

n－2

n－1

?0.11…1+2

n－2

Sn111－n?10． ∴ lim=?=．

n→∞Tn2918

5、（2004一试11）已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，1

则∑的值是

i=0nai

6、(2005一试7) 将关于x的多项式f(x)?1?x?x?x???x多项式g(y)?

2319?x20表为关于y的

a0?a1y?a2y2???a19y19?a20y20,其中y?x?4.则a0?a1???a20? . 7、（2007一试10）已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正

22a12?a2?a3有理数。若a1=d，b1=d，且是正整数，则q等于 。

b1?b2?b31【答案】

222a12?a2?a3a12?(a1?d)2?(a1?2d)214【解析】因为，故由已知条件知道：??b1?b2?b3b1?b1q?b1q21?q?q21414221+q+q为，其中m为正整数。令1?q?q?，则

mm1114156?3m14q?????1???。由于q是小于1的正有理数，所以1??3，

24m24mm56?3m1即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知q?。

4m22

8、（2008一试10）设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?an?an= ．[来源:Z§xx§k.]n?1，n?1,2,n(n?1)，则通项

9、（2010一试4）已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中

a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，且存在常数?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??，则???? . 【答案】33?3

【解析】设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则

3?d?q, （1） 3(3?4d)?q2， （2）

（1）代入（2）得9?12d?d?6d?9，求得d?6,q?9.

n?1从而有3?6(n?1)?log?9?? 对一切正整数n都成立，即6n?3?(n?1)log?9??

2对一切正整数n都成立.

从而 log?9?6,?3??log?9??，求得 ??33,??3，????33?3.

10、（2009一试7）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）

11、（2000一试13）设Sn=1+2+3+…+n,n?N，求f(n)=

Sn的最大值.

(n?32)Sn?1

12、（2000二试2）设数列{a n}和{b n }满足，且

?an?1?7an?6bn?3 n?0,1,2,??b?8a?7b?4nn?n?1

证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．

【解析】[证法一]：由假设得a1=4, b1=4且当n?1时

（2an+1-1）+3bn?1=(14an+12bn-7)+3(8an+7bn-4)=[(2an-1)+3bn](7+43) 依次类推可得

n?1n（2an-1）+3bn= (7+43)(2a1 -1+3b1)=(7+43) n同理（2an-1+ ）-3bn=(7+43)

从而 an=

111nn(7+43)+(7+43)+ .

2443)2 ，

由于 7?43=（2?所以 an =[

11nn2(2+3)+(2-3)] 2211n2kk(2+3)+(2-3)n=?Cn 3 2n?2k , 220?2k?n由二项式展开得 c n =

显然Cn为整数，于是an为完全平方数.

13、（2001一试13）设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1?a1，b2?a2，b3?a3（a1

【解析】设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得

2?4a1d?d2?0 a12(a1?2d)2?(a1?d)4 化简得：2a1