2?2n?a(t??)vn(t)?(?1)sin??sind??0n?an?l 2t??l2?1??n?a(t??)?n?a(t??)????(?1)n?1?cos????cos?????????d??n?an??0?2?ll???????ltn?1因此
v(x,t)??(?1)??n?1?n?1?2l?sin?t?sin?ntsin?nt?sin?t?n???sinlx (6)
(n?)2a???????nn??n?a l其中 ?n?原定解问题的解为
u(x,t)?v?(x,t)?v??(x,t)?xsin?t l解法二：取 W(x,t)?asin?t lsin?asin?x则原问题化为
??vtt???a2v??xx? (7) ?vx?0?0,vx?l?0??l?v?0,vt???sinxsin?t?0aa?t?0注意到方程和边界条件同时齐次化了．
用分离变量法解方程(7)，得
v(x,t)??1?11n?atn?x??sin?l?sin?lsinsin nn??l??nll??asin?n?1n??na??其中 ?n??原定解问题的解为
??n????,al???n????n???? al??xau(x,t)?v(x,t)?sin?t lsin?a 应当指出，同两种方法得到的定解问题的解在形式上不一样，但可以证明它们是等价的，这是由定解问题解的唯一性决定的．
例10求下列定解问题
sin?16 / 44
2??2u2?u?A0?x?l,t?0?2?a2(1)?t?x??(2) ?ux?0?0,ux?l?B?(3)?u??u?0t?0??tt?0?的解，其中A，B均为常数．
解：这个定解问题的特点是：方程及边界条件都是非齐次的．根据上述原则，首先应将边界条件化成齐次的．由于问题中方程（1）的自由项及边界条件（2）都与t无关，所以我们有可能通过一次代换将方程及边界条件都变成齐次的．具体做法如下： 令 u(x,t)?V(x,t)?W(x) 代入方程(1)，得
2??2V2??V???a?W(x)?A ??22?t??x?为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选W(x)满足
2??aW??(x)?A?0 (4) ?W?0,W?B?x?l?x?0问题 (4)是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得：
W(x)??A2?AlB?x????x 22a22al??求出函数W(x)之后，再由问题（1）-（3）可知函数V(x,t)为下列定解问题
2??2V2?V0?x?l,t?0?2?a2(5)?x??t?(6) ?Vx?0?Vx?l?0?(7)?V?V??W(x),?0t?0??tt?0?的解．
采用分离变量法，可得式(5)满足齐次边界条件(6)的解为
n?an?a?n??V(x,t)???Cncost?Dnsint?sinx (7)
lll?n?1??利用式(7)中第二个条件可得Dn?0． 于是定解问题(5)-（7）的解可表示为
17 / 44
V(x,t)??Cncosn?1?n?an?tsinx ll代入式(7)中第一个条件，得
?W(x)??Cnsinn?1?n?x l即
?A2a2x2???Al?2a2?B?l??x??Cn?nsinx n?1l由傅氏级数的系数公式可得
C2l?A2?AlB??n?l?0??2a2x???2a2?l??x??sinn?lxdx?Alal0x2sinn?lxdx???A2B?ln?2??a2?l2???0xsinlxdx (8)
??2Al22?Al2a2n3?3?n?????a2n2?2?B???cosn?因此，原定解问题的解为
u(x,t)??A2ax2???AlB??n?an?2?2a2?l??x??Cncostn?1lsinlx
其中Cn由式(8)确定．
例11在扇形区域内求下列定解问题
???2u?0?u|??0?u|????0
??u|??a?f(?)的解。
解：采用极坐标表示?2u?0即?2u??2u??2?1?u????1?2u?2??2?0u(?,?)?R(?)?(?)代入方程及边界条件，得
???????02(1)?2dR d?2??dRd???R?0(2)及
?(0)??(?)?0 （3）
18 / 44
将 ，可见（1）和（3）构成本征值问题。（1）得通解为
?(?)?Acos???Bsin?? （4）
由（3）可得
A?0,???n?
2?n??由此得本征值为 ?????n?1,2,L? （5）
???和本证函数
?(?)?Bn??nnsin? 将（5）代入（2）得
2d2RdR?d?2??d???n2?2????2??R?0 这是Euler方程，令??et，得其通解为
n?R0?C0?D0ln?(n?0)Rn?Cn???D?n?n??(n?0) （7）
由自然条件u|??0???，取 Dn?0?n?0,1,2L?，于是问题的本征解为
?n?un(?,?)??Cn??sinn??n?1?
一般解为本征解的迭加
?n?u(?,?)?C0?D0ln???Cn??n??sin
n?1?由u(?,0)?0,得C0?D0ln??0，即C0?D0?0，故
?u(?,?)??Dn??n?nsin n?1??? ?由边界条件
u(a,?)??Dn??n?nsin)，得
n?1?a??f(?D12???n?n? a???0f(?)sinn?d? 代入（8），得定解问题的解为：
?u(?,?)???f(?)sinn??n?n?1?2??????n??0?d????????a??sin?
19 / 44
6）
（8）9）
（
（例12在铀块中，除了中子的扩散运动之外，还进行着中子的增值过程，每秒钟在电位 体积中产生的中子数正比于该处的中子浓度u，从而可表为?u（?是表示增殖快慢的常数），设铀块厚度0?x?l，在两端浓度为零，求证临界厚度为l??a（铀块厚度超过临?界，则中子浓度将随时间而增长，一致铀块爆炸——核爆炸），该问题写成定解问题即为
??u?2u?D2??u??x??t?u|?u|?0x?l?x?0解：令u(x,t)?X(x)T(t)，代入原方程可得
(D?a2)
T'(t)??T(t)X''(x)????
a2T(t)X(x)即
X''(x)??X(x)?0 （1） T'(t)?(a2??)T(t)?0 （2）
由(1)得 X(x)?Acos?x?Bsin?x
由u|x?0?u|x?l?0得X(0)?X(l)?0。从而A?0，Bsin?l?0，于是得本征值和本征函数分别为
n2?2?n?2l(n?1,2,3,L),??n2?2a2Xn(x)?Bnsinn?x l代入(2)，并解得 Tn(t)?Cne于是
?2
un(x,t)?Cne及
??n2?2a2?sinn?x lu(x,t)??Cnen?1???n2?2a2?sinn?x ln?1时，
若???2a2l2?0，则浓度u将随时间而增长，便可能产生爆破；
20 / 44
北邮数理方程课件-第三章-分离变量法
