2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的． （1）【2013年广东，理1，5分】设集合M??x|x2?2x?0,x?R?，N??x|x2?2x?0,x?R?，则M?N?（ ）
（A）?0? （B）?0,2? （C）??2,0? （D）??2,0,2? 【答案】D
【解析】易得M???2,0?，N??0,2?，所以M?N???2,0,2?，故选D．
（2）【2013年广东，理2，5分】定义域为R的四个函数y?x3，y?2x，y?x2?1，y?2sinx中，奇函数的个
数是（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 【答案】C
【解析】y?x3，y?2sinx为奇函数；y?x2?1为偶函数；y?2x为非奇非偶函数．?共有2个奇函数，故选C． （3）【2013年广东，理3，5分】若复数z满足iz?2?4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
（A）?2,4? （B）?2,?4? （C）?4,?2? （D）?4,2? 【答案】C
2?4i(2?4i)?(?i)??4?2i，故z对应点的坐标为(4，?2)，故选C． ii?(?i)（4）【2013年广东，理4，5分】已知离散型随机变量X的分布列为 1 2 3 X 331 P 10105 则X的数学期望EX?（ ） 35 （A） （B）2 （C） （D）3
22【答案】A
331153【解析】EX?1??2??3???，故选A．
51010102（5）【2013年广东，理5，5分】某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
1416 （A）4 （B） （C） （D）6
33【答案】B
【解析】解法一：
由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示， 其中上、下底面分别是边长为1，2的正方 形，且DD1?面ABCD，上底面面积S1?12?1，下底面面积S2?22?4．又∵DD1?2，
1114∴V台?(S1?S1S2?S2)h?1?1?4?4?2?，故选B．
333解法二：
由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台ABCD?A1B1C1D1中，四边
【解析】由iz?2?4i，得z???形ABCD与四边形A1B1C1D1都为正方形，AB?2，A1B1?1，且D1D?平面ABCD，D1D?2．
OD1D1C1分别延长四棱台各个侧棱交于点O，设OD1?x，因为?OD1C1∽?ODC，所以， ?ODDCx11114?，即解得x?2．VABCD?A1B1C1D1?V棱锥O?ABCD?V棱锥O?A1B1C1D1??2?2?4??1?1?2?，故选B． x?22333（6）【2013年广东，理6，5分】设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
（A）若???，m??，n??，则m?n （B）若?//?，m??，n??，则m//n
1
（C）若m?n，m??，n??，则??? （D）若m??，m//n，n//?，则??? 【答案】D
【解析】选项A中，m与n还可能平行或异面，故不正确；选项B中，m与n还可能异面，故不正确；
选项C中，?与?还可能平行或相交，故不正确；选项D中，∵m??，m//n，?n??． 又n//?，????，故选D．
3（7）【2013年广东，理7，5分】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F?3,0?，离心率等于，在双曲线C的
2方程是（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2?1 （B）??1 （A）??1 （C）??1 （D）?42452555【答案】B
3c30)，知c?3．由离心率e?，知?，则a?2，故b2?c2?a2?9?4?5， 【解析】由曲线C的右焦点为F(3，2a222xy所以双曲线C的方程为??1，故选B．
455分】（8）【2013年广东，理8，设整数n?4，集合X??1,2,3,?,n?．令集合S???x,y,z?|x,y,z?X且三条件x?y?z，
y?z?x,z?x?y，恰有一个成立?，若?x,y,z?和?z,w,x?都在S中，则下列选项正确的是（ ）
（A）?y,z,w??S，?x,y,w??S （B）?y,z,w??S，?x,y,w??S （C）?y,z,w??S，?x,y,w??S （D）?y,z,w??S，?x,y,w??S
【答案】B
【解析】解法一：
特殊值法，不妨令x?2,y?3,z?4，w?1，则?y,z,w???3,4,1??S，?x,y,w???2,3,1??S，故选B． 解法二：
由(x，y，z)?S，不妨取x?y?z，要使(z，w，x)?S，则w?x?z或x?z?w．当w?x?z时， w?x?y?z，x?y?z?w，(x,y,w)?S．(x,y,w)?S． 故(y,z,w)?S，当x?z?w时，故(y,z,w)?S，综上可知，(y,z,w)?S，(x,y,w)?S，故选B．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~13） （9）【2013年广东，理9，5分】不等式x2?x?2?0的解集为 ． 【答案】??2,1?
【解析】x2?x?2?0即?x?2??x?1??0，解得?2?x?1，故原不等式的解集为{x|?2?x?1}． （10）【2013年广东，理10，5分】若曲线y?kx?lnx在点?1,k?处的切线平行于x轴，则k? ． 【答案】?1
1．因为曲线在点(1，k)处的切线平行于x轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得y?|x?1?0，x故k?1?0，即k??1．
（11）【2013年广东，理11，5分】执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值
为 ． 【答案】7
【解析】第一次循环后:s?1,i?2；第二次循环后:s?2,i?3；第三次循环后:s?4,i?4；第四次循
环后:s?7,i?5；故输出7．
（12）【2013年广东，理12，5分】在等差数列?an?中，已知a3?a8?10，则3a5?a7? ．
【解析】y??k?【答案】20
【解析】依题意2a1?9d?10，所以3a5?a7?3?a1?4d??a1?6d?4a1?18d?20． 或:3a5?a7?2?a3?a8??20．
2
?x?4y?4?5分】（13）【2013年广东，理13，给定区域D：?x?y?4，令点集T?{?x0,y0??D|x0,y0?Z,?x0,y0?是z?x?y?x?0?在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定 条不同的直线． 【答案】6
【解析】画出可行域如图所示，其中z?x?y取得最小值时的整点为?0,1?，取得最大值时的整
点为?0,4?，?1,3?，?2,2?，?3,1?及?4,0?共5个整点．故可确定5?1?6条不同的直线．
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
（14）【2013年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为
??x?2cost(t为参数)，C在点?1,1?处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为???y?2sint极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 ．
???【答案】?sin?????2 4??【解析】曲线C的普通方程为x2?y2?2，其在点?1,1?处的切线l的方程为x?y?2，对应的极坐标方程为
?????2． 4??（15）【2013年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，
延长BC到D使BC?CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB?6，则BC? ． ED?2，
?cos???sin??2，即?sin???【答案】23
ABBC? ，又BC?CD，所以BC2?AB?DE?12，从而BC?23．CDDE 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
???（16）【2013年广东，理16，12分】已知函数f(x)?2cos?x??，x?R．
12?????（1）求f???的值；
?6???3?3???（2）若cos??，???,2??，求f?2???．
3?5?2?????????????解：（1）f????2cos?????2cos????2cos?1．
4?6??612??4????????3????3?? （2）f?2????2cos?2?????2cos?2????cos2??sin2?，因为cos??，???,2??，
3?312?4?5????2?4247所以sin???，所以sin2??2sin?cos???，cos2??cos2??sin2???，
52525??7?24?17?所以f?2????cos2??sin2????????．
3?25?25?25?（17）【2013年广东，理17，12分】某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶
图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工
人；
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
17?19?20?21?25?30132解：（1）样本均值为??22．
66211（2）由（1）知样本中优秀工人占的比例为?，故推断该车间12名工人中有12??4名优秀工人
363【解析】依题意易知?ABC??CDE，所以
3
11C4C16（3）设事件A:从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P?A??28?．
C1233?A?90?， （18）【2013年广东，理18，14分】如图1，在等腰直角三角形ABC中，
BC?6，D,E分别是AC,AB上的点，CD?BE?2，O为BC的中点．将
得到如图2所示的四棱锥A??BCDE，其中A?O?3． ?ADE沿DE折起，
（1）证明:A?O?平面BCDE； （2）求二面角D－AF－E的余弦值． 解：（1）在图1中，易得OC?3,AC?32,AD?22，连结OD,OE，在?OCD中，由余弦定
理可得OD?OC2?CD2?2OC?CDcos45??5，由翻折不变性可知A?D?22，
所以A?O2?OD2?A?D2，所以A?O?OD，理可证A?O?OE， 又OD?OE?O，所以A?O?平面BCDE． （2）解法一：
过O作OH?CD交CD的延长线于H，连结A?H，因为A?O?平面BCDE，所以A?H?CD，??A?HO
3032为二面角A??CD?B的平面角．由图1可知，故OH?，A?H?OH2?OA?2?， H为AC中点，
22OH1515?所以cos?A?HO?，所以二面角A??CD?B的平面角的余弦值为． A?H55解法二：以O点为原点，建立空间直角坐标系O?xyz如图所示，则A?0,0,3，
????????????C?0,?3,0?，D?1,?2,0?，所以CA?0,3,3，DA??1,2,3，设n??x,y,z?为平
??????????y??x?n?CA??0?3y?3z?0x?1n?1,?1,3 面A?CD的法向量，则??????，即，解得，令，得???????z?3x?n?DA??0??x?2y?3z?0??????????????n?OA?315由（1）知，OA??0,0,3为平面CDB的一个法向量，所以cosn,OA????????， ?53?5nOA???????????即二面角A??CD?B的平面角的余弦值为15． 5（19）【2013年广东，理19，14分】设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?1，
（1）求a2的值；
（2）求数列?an?的通项公式； （3）证明:对一切正整数n，有
1117?????． a1a2an42Sn12?an?1?n2?n?，n?N*． n3312解：（1）依题意，2S1?a2??1?，又S1?a1?1，所以a2?4．
33121232（2）当n?2时，2Sn?nan?1?n3?n2?n，2Sn?1??n?1?an??n?1???n?1???n?1?，
333312两式相减得2an?nan?1??n?1?an??3n2?3n?1???2n?1??，整理得?n?1?an?nan?1?n?n?1?，
33aaaaa?a?即n?1?n?1，又2?1?1，故数列?n?是首项为1?1，公差为1的等差数列， n?1n211?n?a所以n?1??n?1??1?n，所以an?n2．
n111111711157??，（3）当n?1时，?1?；当n?2时，??1???； 当n?3时，?2?a1a2444a14ann?n?1?nn?1n此时
11111111?11??11?1??1?????1??2?2???2?1??????????????? a1a2an434n4?23??34??n?1n?4
?1?1117111717?????，综上，对一切正整数n，有?????．
a1a2an442n4n4（20）【2013年广东，理20，14分】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的
32．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB，其中A,B为切点． 2（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P?x0,y0?为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
距离为（3）当点P在直线l上移动时，求AF?BF的最小值． 解：（1）依题意，设抛物线C的方程为x2?4cy，由所以抛物线C的方程为x2?4y．
x12x22121,y2?（2）抛物线C的方程为x?4y，即y?x，求导得y??x，设A?x1,y1?，B?x2,y2?(其中y1?)， 4442x11则切线PA,PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y?y1?1?x?x1?，
2222xx即y?1x?1?y1，即x1x?2y?2y1?0，同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0，
22因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?，所以x1x0?2y0?2y1?0，x2x0?2y0?2y2?0，所以?x1,y1?,?x2,y2?
20?c?22?32结合c?0，解得c?1． 2为方程x0x?2y0?2y?0的两组解．所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0．
（3）由抛物线定义可知AF?y1?1，BF?y2?1，所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1，
??x0x?2y?2y0?0联立方程?2，消去x整理得y2??2y0?x02?y?y02?0，由一元二次方程根与系数的关
??x?4y系可得y1?y2?x02?2y0，y1y2?y02，所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y02?x02?2y0?1，
1?9?又点P?x0,y0?在直线l上，所以x0?y0?2，所以y02?x02?2y0?1?2y02?2y0?5?2?y0???，
2?2?19所以当y0??时， AF?BF取得最小值，且最小值为．
22x2（21）【2013年广东，理21，14分】设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R)．
2（1）当k?1时，求函数f?x?的单调区间；
?1?（2）当k??,1?时，求函数f?x?在?0,k?上的最大值M．
?2?解：（1）当k?1时，f?x???x?1?ex?x2，f??x??ex??x?1?ex?2x?xex?2x?x?ex?2?， 令f??x??0，得x1?0，x2?ln2，当x变化时，f??x?,f?x?的变化如下表:
x f??x? f?x? ???,0? ? ? 0 0 ?0,ln2? ? ? ln2 ?ln2,??? ? ? 0 极大值 极小值 右表可知，函数f?x?的递减区间为?0,ln2?，递增区间为???,0?，?ln2,???． （2）f??x??ex??x?1?ex?2kx?xex?2kx?x?ex?2k?，令f??x??0，得x1?0，x2?ln?2k?，
令g?k??ln?2k??k，则g??k??11?k?1??1??0，所以g?k?在?,1?上递增， kk?2?所以g?k??ln2?1?ln2?lne?0，从而ln?2k??k，所以ln?2k???0,k?，所以当x??0,ln?2k??时， f??x??0；当x??ln?2k?,???时，f??x??0；所以M?max?f?0?,f?k???max??1,?k?1?ek?k3?，
令h?k???k?1?ek?k3?1，则h??k??k?ek?3k?，令??k??ek?3k，则???k??ek?3?e?3?0，
5
3??1??1???1?所以??k?在?,1?上递减，而??????1???e???e?3??0，所以存在x0??,1?使得??x0??0，
2??2??2???2??1??1?且当k??,x0?时，??k??0，当k??x0,1?时，??k??0，所以??k?在?,x0?上单调递增，在?x0,1?
?2??2?17?1??1?e??0，h?1??0，h?k??0在?,1?上恒成立，上单调递减．h????当且仅当k?1时取得“?”．
2282????综上，函数f?x?在?0,k?上的最大值M??k?1?ek?k3．
6
2013年高考广东理科数学试题及答案（word解析版）
