第六章
不等式
第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。 过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。 2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 （例略） 1．“同向不等式与异向不等式” 2．“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系（充要条件） 1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0
2．应用：例一 比较(a?3)(a?5)与(a?2)(a?4)的大小
解：（取差）(a?3)(a?5)2 (a?2)(a?4)
2 ?(a?2a?15)?(a?2a?8)??7?0
∴(a?3)(a?5)<(a?2)(a?4) 例二 已知x220, 比较(x?1)与x?x?1的大小
2242解：（取差）(x?1)4(x4?x2?1)
2422 ?x?2x?1?x?x?1?x
24222∵x?0 ∴x?0 从而(x?1)>x?x?1
小结：步骤：作差—变形—判断—结论
例三 比较大小1．
13?2和10
解：∵
13?2?3?2
∵(3?2)2?(10)2?26?5?∴
24?25?0
13?2<10
2．
bb?m和 (a,b,m?R?) aa?mbab?mm(b?a)? ∵(a,b,m?R?) a?ma(a?m)解：（取差）
bb?mbb?mbb?m>；当b?a时=；当b?a时< aa?maa?maa?m1t?13．设a?0且a?1，t?0比较logat与loga的大小
22∴当b?a时
t?1t?1(t?1)2?t 解：?t??0 ∴222 当a?1时
1t?11t?1logat≤loga；当0?a?1时logat≥loga 2222四、不等式的性质
1．性质1：如果a?b，那么b?a；如果b?a，那么a?b（对称性） 证：∵a?b ∴a?b?0由正数的相反数是负数 ?(a?b)?0 b?a?0 b?a 2．性质2：如果a?b，b?c 那么a?c（传递性）
证：∵a?b，b?c ∴a?b?0，b?c?0 ∵两个正数的和仍是正数 ∴(a?b)?(b?c)?0
a?c?0 ∴a?c
由对称性、性质2可以表示为如果c?b且b?a那么c?a 五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件 3．性质1、2 六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3
22补充题：1．若2x?4y?1，比较x?y与
1的大小 201?4y解：x? x2?y222．比较2sin略解：2sin
当当
与sin2
=2sin
11(5y?1)2?0 ∴x2?y2≥=……=
20205的大小(0<<2(1(1(1
coscos
)
)≥0 2sin)<0 2sin
≥sin2 ) sin2 (0,)时2sin( ,2 )时2sin cos 3．设a?0且a?1比较loga(a3?1)与loga(a2?1)的大小 解：(a3?1)?(a2?1)?a2(a?1) 32当0?a?1时a?1?a?1 ∴loga(a3?1)>loga(a2?1) 32当a?1时a?1?a?1 ∴loga(a3?1)>loga(a2?1) ∴总有loga(a3?1)>loga(a2?1) 第二教时 教材：不等式基本性质（续完） 目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。 过程： 一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2 二、1．性质3：如果a?b，那么a?c?b?c （加法单调性）反之亦然 证：∵(a?c)?(b?c)?a?b?0 ∴a?c?b?c 从而可得移项法则：a?b?c?a?b?(?b)?c?(?b)?a?c?b 推论：如果a?b且c?d，那么a?c?b?d （相加法则） 证： a?b?a?c?b?c???a?c?b?d c?d?b?c?b?d?推论：如果a?b且c?d，那么a?c?b?d （相减法则） 证：∵c?d ∴?c??d ??a?b?a?c?b?d ??c??d或证：(a?c)?(b?d)?(a?b)?(c?d) ?a?b?c?d ?a?b?0???上式>0 ……… ?c?d?0?2．性质4：如果a?b且c?0, 那么ac?bc；
高中数学竞赛教案集.
