2016年高考数学复习专题14计数原理与概率统计分类加法计数原理与分步乘法计数原理备考策略

分类加法计数原理与分步乘法计数原理备考策略

主标题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理备考策略

副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。 关键词：分类计数，分步计数，备考策略 难度：2 重要程度：4

考点一 分类加法计数原理

【例1】满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，

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b)的个数为( )．

A．14 B．13 C．12 D．9 解析 由于a，b∈{－1,0,1,2}．

(1)当a＝0时，有x＝－为实根，则b＝－1,0,1,2有4种可能；

2(2)当a≠0时，则方程有实根， ∴Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.(*)

①当a＝－1时，满足(*)式的b＝－1,0,1,2有4种． ②当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能． ③当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．

∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)． 答案 B

【备考策略】 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．

考点二 分步乘法计数原理

【例2】 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )． A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

解析 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A3种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A3·2·1＝12(种)不同的排列方法． 答案 A

【备考策略】 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤

1

3

3

b都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

考点三 两个计数原理的综合应用

【例3】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________.

1 2 3 审题路线 由于区域1,2,3与区域4相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区域不同色，因此应按区域1和区域3是否同色分类求解． 解析 按区域1与3是否同色分类；

(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A3种方法．

∴区域1与3涂同色，共有4A3＝24种方法．

(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A4种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法． ∴这时共有A4×2×1×3＝72种方法，

故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96. 答案 96

【备考策略】(1)解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序． (2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．

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