§3 维数、基与坐标
一 授课内容:§3 维数、基与坐标
二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标
的有关定义及性质.
三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义. 四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义. 五 教学过程:
1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V是数域K上的线性空间,则有:
定义4.9(基和维数) 如果在V中存在n个向量?1,?2,L,?n,满足: 1)?1,?2,L,?n线性无关；
2)V中任一向量在K上可表成?1,?2,L,?n的线性组合, 则称?1,?2,L,?n为V的一组基.
基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.
命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间,而?1,?2,L,?n?V.若V中任一向量皆可被?1,?2,L,?n线性表出,则?1,?2,L,?n是V的一组基.
证明:由?1,?2,L,?n与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等. 命题4.5 设V为K上的n维线性空间,?1,?2,L,?n?V,则下述两条等价:
1)?1,?2,L,?n线性无关；
2)V中任一向量可被?1,?2,L,?n线性表出.
定义4.10(向量的坐标) 设V为K上的n维线性空间,?1,?2,L,?n是它的一组基.任给??V,由命题4.4,?可唯一表示为?1,?2,L,?n的线性组合,即?!ai?K,(i?1,2,L,n),使得??a1?1?a2?2?L?an?n,于是我们称
?a1,a2,L,an?为?在基?1,?2,L,?n下的坐标.
易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系.
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§4 基变换与坐标变换
一 授课内容:§4 基变换与坐标变换
二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,
坐标变换公式.
三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式. 四 教学难点:坐标变换公式的应用. 五 教学过程:
1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间,设?1,?2,L,?n和?1,?2,L,?n是两组基,且
??1?t11?1?t21?2?L?tn1?n,???t??t??L?t?,?2121222n2n ?LLLLLLLLLLL????n?t1n?1?t2n?2?L?tnn?n.将其写成矩阵形式
?t11?t(?1,?2,L,?n)?(?1,?2,L,?n)?21?M??t?n1定义4.11 我们称矩阵
t12Lt22LMtn2Lt1n??t2n?. M??tnn???t11?tT??21?M??t?n1t12Lt22LMtn2Lt1n??t2n? ?M?tnn??为从?1,?2,L,?n到?1,?2,L,?n的过渡矩阵.
命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基?1,?2,L,?n.T是K上一个n阶方阵.命
(?1,?2,L,?n)?(?1,?2,L,?n)T.
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则有?1,?2,L,?n是V/K的一组基,当且仅当T可逆.
证明:若?1,?2,L,?n是线性空间V/K的一组基,则?1,?2,L,?n线性无关.考察同构映射?:V?Kn,???在?1,?2,?,?n下的坐标,构造方程
k1?(?1)?k2?(?2)?L?kn?(?n)?0, 其中ki?K,(i?1,2,L,n), ??(k1?1?k2?2?L?kn?n)?0?k1?1?k2?2?L?kn?n?0, ?k1?k2?L?kn?0??(?1),?(?2),L,?(?n)线性无关.
?(?1),?(?2),L,?(?n)构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；
反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程
k1?1?k2?2?L?kn?n?0,其中ki?K,(i?1,2,L,n),
两边用?作用,得到k1?(?1)?k2?(?2)?L?kn?(?n)?0,
?k1?k2?L?kn?0.证毕.
2.向量的坐标变换公式；Kn中的两组基的过渡矩阵 (1)向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为?1,?2,L,?n和?1,?2,L,?n,又设?在?1,?2,L,?n下的坐标为?a1,a2,L,an?,即
?a1???a??(?1,?2,L,?n)?2?,
?M???a???n?在?1,?2,L,?n下的坐标为(b1,b2,L,bn),即
?b1???b2??. ??(?1,?2,L,?n)?M???b???n?现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即(?1,?2,L,?n)?(?1,?2,L,?n)T.
记
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?a1??b1?????ab2?2???X?,Y?, ?M??M????a???b???n??n?于是
(?1,?2,L,?n)X?(?1,?2,L,?n)Y?[(?1,?2,L,?n)T]Y?(?1,?2,L,?n)(TY).
于是,由坐标的唯一性,可以知道X?TY,这就是坐标变换公式.
(2)Kn中两组基的过渡矩阵的求法 我们设Kn中两组基分别为
?1?(a11,a12,L,a1n),?2?(a21,a22,L,a2n),LLLLLLLL?n?(an1,an2,L,ann). 和
?1?(b11,b12,L,b1n),?2?(b21,b22,L,b2n),LLLLLLLL?n?(bn1,bn2,L,bnn).
而 (?1,?2,L,?n)?(?1,?2,L,?n)T.
按定义,T的第i个列向量分别是?i在基?1,?2,L,?n下的坐标. 将?1,?2,L,?n和?1,?2,L,?n看作列向量分别排成矩阵
?a11a12L?a21a22L?A??MM??a?n1an2La1n??b11b12L??a2n?b21b22L?；B??MMM????bbLann???n1n2b1n??b2n?, M??bnn??则有B?AT,将A和B拼成n?2n分块矩阵?A|B?,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:
(A|B)?行初等变换????(E|T).
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§5 线性子空间
一 授课内容:§5 线性子空间
二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理. 三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理. 四 教学难点:线性子空间的判别定理. 五 教学过程:
1.线性空间的子空间的定义
定义4.12(子空间) 设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间.
命题4.7 设V是K上的线性空间,又设一个非空集合W?V,则W是子空间当且仅当下述两条成立:
i)W对减法封闭； ii)W对于K中元素作数乘封闭. 证明:必要性由定义直接得出；
充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件. 只需要证明0?W且对于任意??W,???W,且对加法封闭即可. 事实上,由于W关于数乘封闭,则0???0?W；(?1)??????W,于是对于??,??W,??????(??)?W,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间. 证毕.
事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.
命题4.8 设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.
证明:设dimV?n,dimW?r,(r?n),若r?n,则命题为真； 若r?n,对n?r作归纳:设?1,?2,L,?r为W的一组基,取?r?1?V\\W,则?1,?2,L,?r,?r?1线性无关.于是令W'?{??k?r?1|??W,k?K},易见,W’是V的一个子空间,且dimW'?r?1,此时n?dimW'?n?r?1,对其用归纳假设即可.
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(完整word版)高等代数北大版教案-第6章线性空间
