跳扩散模型下亚式期权定价的柳树法研究
姚 怡，李帅芳，许 威
【摘 要】摘要：Merton提出的对数跳扩散模型，将股票价格对数构造为布朗运动与复合泊松过程的叠加，能够更好地刻画股票价格回报的负偏度和过高峰度.由于现有的定价亚式期权的数值算法计算复杂、工作量大，因此提出了在Merton跳扩散模型下，亚式期权的快速定价柳树法,并从理论上证明了该算法的收敛性.通过数值实验，表明柳树法与现有方法相比有相同的计算精度，但计算速度更快.
【期刊名称】同济大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2018(046)012 【总页数】9
【关键词】亚式期权； 跳扩散模型； 柳树法； 蒙特卡洛方法
基金项目：国家自然科学基金面上项目(71771175)；同济大学中央高校基础科研经费
在1976年，Merton[1]提出的对数跳扩散模型，将标的资产价格刻画为服从几何布朗运动附加一个偶然离散跳跃的形式.较之标准的几何布朗运动，该模型能够更好地拟合股票收益尖峰厚尾的特性.亚式期权作为具有代表性的新型期权，通过标的资产的平均价格来确定收益，以其便宜的价格和相对较低的风险吸引了许多投资者，目前已成为金融衍生品市场上交易最为活跃的新型期权之一.但是，由于其路径依赖性较强，导致定价问题也特别复杂，解析解很难求得，只能用数值方法对其进行有效的定价.目前对于跳扩散模型下的亚式期权定价，常用的数值方法有有限差分方法、二叉树法、蒙特卡洛方法和半拉格朗日法
等.Kim和Qian[2]建立了跳扩散模型下亚式期权的二叉树方法模型，并证明了该二叉树方法的收敛性.二叉树中资产价格节点数呈平方增长，定价亚式期权计算量大，速度慢.Forsyth等[3]首先基于跳扩散模型，利用公式和对冲技巧推导出连续情形下亚式期权的定价公式，然后用半拉格朗日法将二维偏微分问题离散化，转化为在每个时间节点上求解一个一维非线性积分-微分方程，并且证明了迭代方法求解隐式离散格式的收敛性，但实现复杂.Bayraktar等[4]基于Vecer和Xu[5]推导出的跳扩散模型下连续算术平均亚式期权的价格公式，定义了一个函数v来逼近积分-微分方程的解，并使用有限差分方法定价亚式期权.但是，该方法为保证计算精度，迭代次数较多，大大增加了计算量.Glasserman[6]详细介绍了蒙特卡罗法及各种方差减小技术在亚式期权定价中的应用，但是蒙特卡洛方法为保证计算精度，计算量大，耗时很多.近年来，国内学者也对Merton跳扩散模型下亚式期权的定价进行了研究.钱晓松[7]将算术平均亚式期权的定价问题归结为一个与路径无关的一维积分-微分方程的求解问题.刘宣会等[8]采用账户折算与复制的方法将亚式期权的定价转化为类似于欧式期权的定价，然后运用Merton对冲风险的方法，得到原亚式期权的定价.但以上两篇论文都只提供了理论分析，未给出具体的数值解法.张静等[9]推导出亚式期权的价格下界公式，并通过数值实验验证该下界公式可以近似作为亚式期权的定价公式，但是该方法对于虚值期权，定价误差较大.
本文在Merton跳扩散模型下，提出了基于柳树结构的定价亚式期权的方法.柳树法[10]最初通过构造离散的马尔科夫过程来刻画几何布朗运动对欧式期权定价.图1展示了一个柳树结构的简单例子.该柳树结构从初始时刻0到T，有5个离散时刻，从第2个时刻起，每个时刻有5个可能的资产价格节点.图1为柳树
结构示意图，在实际应用中每一时刻上的资产价格数可以根据模型具体情况任意指定，通常节点个数设为30～50就能够在期权定价问题上保证较高的精度.柳树结构的优点是每个时刻上的资产价格数是常数，因此，随着时间步数的增加，柳树上节点的总个数是线性增长的，而不是二叉树中的平方增长，提高了数值方法的效率.
在Merton跳扩散模型下，本文提出的柳树构造主要分为两部分：首先在计算对数资产价格四阶矩的基础上，通过Johnson曲线，将服从标准正态分布的离散节点转换成服从跳扩散模型的价格节点，得到了资产价格的估计；然后根据跳扩散模型下资产价格满足的条件概率，推导出每两个相邻时刻间的转移概率公式，并对转移概率做了修正，从而保证资产价格满足鞅的性质，同时提高定价精度.在亚式期权定价过程中，平均价格依赖于价格变化的路径.不同于文献[11]中将所有精确的算术平均价格全部计算出来，本文预先计算出每个时刻平均价格的最大值和最小值，在此区间内通过等差数列选取给定个数的平均价格，而对于没有取到的平均价格节点，通过线性插值即可对其进行定价，以起到减少计算量的作用，从而解决了亚式期权定价中的路径依赖问题.另外，本文分析了柳树法的截断误差和插值误差，证明了柳树法的收敛性.最后，本文针对不同参数下的亚式期权进行了数值实验，并将柳树法结果与蒙特卡洛方法进行比较，数值结果显示柳树法与蒙特卡洛方法有相同的计算精度.由于柳树法存储的平均价格节点个数远少于实际的平均价格路径，从而使得运行时间大大减少.
1 跳扩散模型下亚式期权的柳树法定价
在Merton跳扩散模型下，假设标的资产价格St满足： (1)
跳扩散模型下亚式期权定价的柳树法研究
