点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
10．（2012?泸州）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ） A．
32323212a C．(1?)a D．(1?)a a B．3432
考点：正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形． 分析：设B′C′与CD交于点E．由于阴影部分的面积=S
ABCD=
正方形ABCD
-S
四边形AB′ED
，又S
正方形
a2，所以关键是求S四边形AB′ED．为此，连接AE．根据HL易证△AB′E≌△ADE，
得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定义得出DE=AD?tan∠DAE=3a．再利用三角形的面积公式求出S四边形AB′ED=2S△ADE． 3解答：解：如图，设B′C′与CD交于点E，连接AE．
? ?AB?E= ?ADE=90o?在△AB′E与△ADE中，? AE=AE ，
?AB?=AD?∴△AB′E≌△ADE（HL）， ∴∠B′AE=∠DAE．
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∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°， ∴∠B′AE=∠DAE=30°， ∴DE=AD?tan∠DAE=
3a． 33321×a×a= a．
33232)a． 3∴S四边形AB′ED=2S△ADE=2×
∴阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED=(1?故选：D．
点评：本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
二、填空题
11．（2012?十堰）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF= ．
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11．5
考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．
分析：过D作DK平行EF交CF于K，得出平行四边形DEFK，推出EF=DK，证△DCK∽△CBA，求出CK，根据勾股定理求出DK即可． 解：过D作DK平行EF交CF于K， ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC=4，AB=CD=2， ∵AD∥BC，EF∥DK， ∴DEFK为平行四边形， ∴EF=DK， ∵EF⊥AC， ∴DK⊥AC， ∴∠DPC=90°， ∵∠DCB=90°，
∴∠CDK+∠DCP=90°，∠DCP+∠ACB=90°， ∴∠CDK=∠ACB， ∵∠DCK=∠ABC=90°， ∴△CDK∽△BCA，
CDBC?， CKAB24?， 即
CK2∴CK=1，
根据勾股定理得：EF=DK=5， 故答案为：5．
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点评：本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出EO长，用的数学思想是方程思想．
12．（2012?山西）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 ．
12．(2,23)
考点：矩形的性质；坐标与图形性质；解直角三角形．
分析：过点B作DE⊥OE于E，有OC=2，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，可求出AC的长，根据矩形的性质可得OB的长，进而求出BE，OE的长，从而求出点B的坐标．解答：解：过点B作DE⊥OE于E，
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°， ∴∠CAO=30°， ∴AC=4， ∴OB=AC=4， ∴OE=2， ∴BE=23，
∴则点B的坐标是(2,23)， 故答案为：(2,23)．
点评：本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的运用和解直角三角形的有
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关知识，解题的关键是作高线得到点的坐标的绝对值的长度，
13．（2012?宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE的长度是 ．
13．考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC=10，求得DE．解答：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°， ∴∠EDC=30°，∠EDA=60°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=60°， ∴∠ODC=∠OCD=60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°， ∴∠COD=60°， ∴△OCD是等边三角形， DE=sin60°?OD=11AC=5，OB=OD=BD=5， 22353?5?， 22故答案为
53 ． 2点评：本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，根据已知得出三角形OCD是等边三角形是
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中考数学专题特训 矩形_菱形_正方形(含详细参考答案)
