微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三
1．解：(1) vt
lim
t
s(t)t
0
v0lim
t
tt;
12
0
glim
t
2tt
0
(t)t
2
v0
gt.
(2)由vtv0
gt0有t
12
v0g
(3)由vtv0gt有vT
g(2t)
v0.。
3．求曲线y=x(1-x)在横坐标为1处的切线的斜率。解：由y
=1-2x可知当x=1时，y
=-1。
5．解：(1)
y(0)
x
lim
01
xx
2
00
0,y(0)
x
lim
0
x
2
00x
1
xlim
x
0
0y(0)0;
(2)y(0)
x
lim
0
x00
x
x
limx,y(0)
0
00
x
limx,
x
0
因此，只有当
6．解：由于得
(1) (2)
为有理数且
n
时y(0)2m
limxx0
0成立。
f(x)在x=0和x=1点处可导，则必然在x=0和x=1点处连续，因此
f(0)
f(1)
f(0),即lim(e
x
0
x
1)
lim
x1
x
lim(x
0
a)a0;
b
1.
问f(x)在x=0点是否
x1f(x)
7．设f(x)在x=0点连续，且lim
x0
x
x
1
f(1),即lim
x1bsin(x1)11
x1
1
1，(1)求f (0); (2)
可导
解：由于得f(x)在x=0点连续，则
由lim
x
limf(x)x0
f(0).
f(x)x
0
1
0
1有：
limxlim
x
0
x
(1) limx
x
f(x)1x
f(x)1x
0
0lim
x
0
f(x)10limf(x)
x
0
1，
即f (0)=1;
(2)
f(x)1limx0
xf(x)limx0
xf(0)0
1f(0)1.
U(0),在此领域内g(x)是有界
8．解:函数g(x)在x=0点连续,则当x量。
因此
0时, 存在某个领域
f(0)
9．设f(0)(1)
f(x)f(0)limx0
x0
1,g(1)
lim
x
g(x)sinx
x
1,g(1)
g(0)sin0
2,求
0
g(x)sinxlimx0
x
g(0).
2,f(0)
limx0
cosx
x
f(x)
(cosx1)(f(x)1)limx0
x
cosx1f(x)f(0)limlimx0x0
xx
lim
x
1
2
f(0);
(2)
lim
x
2f(x)1
x
x
2f(x)
x
f(x)x
f(x)1
00
limf(x)
x
0
2
x
1x
lim
x
f(x)x2x
1
0
f(0)ln2f(0);
(3)lim
x
xg(x)x1
2
1
lim
x
xg(x)2xx1
2
1
limx1
g(x)2x
x1x1
2limx1
x1
limx1
g(x)g(1)x
x1
2limx1
1x1
g(1)1;
10．设f(0)1,f(0)
f(lnx)1t
解: lim
x1
1x
11．设f(0)
f(lnx)1
.
x1
1x
lnxlimf(t)1limf(t)f(0)
t
t0t0
1et
1,求极限lim1,(1)求当x
0时,
f(0);
(2)求极限
1,f(0)f(x)1的主部；
f(2x)1
lim.2x2
x2x
解：(1) 求当x
0时,f(x)
1f(0)(xf(2
1)o(x
2
x
1),因此f (x)-1的主部为1-x ;
f(t)t(t
f(0)2)
(2) lim
x
f(2x
2
x)2x
1
2
lim
x
2
x)1tx(x2)
lim
t
0
limt0
17．解: (1)
由f(x)在(
1t2
limt0
f(t)
t
f(0)
1limf(0)2t01;2
,)内可导，有
lim
x
f(x)f(0)
0
x0
limx
x
0
1
sin,
x
1
当>1时,上述极限存在；0时,
(2) 当x 由
f(x)xsin
1x
x
1
sin
1x
x
2
cos
1x
,
limf(x)存在可知
x
0
>2，且有
f(x)
x
1
sin0,
1x
x
2
cos,x0
x
x0
1
18．解: 已知yx
2
a与ybln(12x)在x=1点相切，即
x
2
a
x=1
bln(12x)
x1
2
2bb3;
在切点处函数值相等，则
x
2
a
x=1
3ln(12x)
x1
3
a13ln3a3ln31.
微积分习题答案上海同济大学数学
