高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
第2章无限期模型与世代交叠模型
2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数
,Y?F?K，AL?，或者采用紧凑形式
。假设
。假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁
资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的k值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本同时厂商受到生产函数
构造拉格朗日函数：
求一阶导数：
的约束。这是一个典型的最优化问题。
，
得到：
上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：
为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产
的产量。这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。令
和
分别表示消费品在这两期中的价格，
和
是多少？
W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：
（a）已知
和
和W，则此人效用最大化的
（b）两期消费之间的替代弹性为或
的替代弹性为
。
，
。证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
求解约束条件：
（1） （2）
将方程（3）代入（1）中，可得：
（3）
（4）
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对
求一阶条件可得：
解得：
将方程（5）代入（3），则有：
（5）
解得：
将方程（6）代入（5）中，则有：
（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
（8） （7）
（6）
对方程（8）两边取对数可得：
则消费的跨期替代弹性为：
（9）
因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻前后消费之间的关系。）
（b）假设事先知道，在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻前后消费之间的关系。)
答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期
。 考虑家庭在
时期减少每单位有效劳动的消费为
。然后他在，从
到
投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这
一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，财富的回报率为
此时的效用收益为
费路径来说，必须满足下列条件：
，在
会有一收益
，不过，此刻有一半的财富会被没收。
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数为。考虑家庭在（2.6）的
约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、
答：
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
（1） （2）
2.1 2.6
以及效用函数各参数的函数。
令
建立拉格朗日方程：
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题问题详解
