专题05 微元法-高中物理难题解题的五大方法

由天下分享时间：2024/5/3 4:28:08 加入收藏我要投稿点赞

微元法解题归纳

江苏省特级教师戴儒京

高考物理卷的最后一题，有的是用微元法解的题目，题目的难度很大，是为了区分最优秀的考生与优秀的考生的，本文通过研究微元法解的题目，探究微元法解题的方法和规律。 1. 什么是微元法？

“微元法”是高中物理涉及到的一种数学方法,渗透着微积分的思想,是物理学发展过程中最重要的科学思维方法之一,是牛顿力学的数学基础.

通过对某一微元的研究求解物理量，有些物理问题中,当我们研究某个物体或某过程而无法求解时,可以把物体或过程进行无限分割,取某个微元做为研究对象,利用这个微元在一微小位移或微小时间内所遵循的物理规律列方程求解.这种方法常常叫做微元法。

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些

复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（如求和）或物理思想处理，进而使问题求解。

微元法在处理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。这是一种深刻的思维方法，是先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体。微元法是对某事件做整体的观察后，取出该事件的某一微小单元进行分析，通过对微元的细节的物理分析和描述，最终解决整体的方法。

微元法是个比较深奥的东西,其原理是微积分,就是将整体化为局部,在局部中进行适当的省略计算后再累加。

3. “微元法”的取元原则：选取微元时所遵从的基本原则是

（1）可加性原则：由于所取的“微元” 最终必须参加叠加演算，所以，对“微元” 及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征；

（2）有序性原则：为了保证所取的“微元” 在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元” ；

（3）平权性原则：叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数” 来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数” 具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式。

4. “微元法”的换元技巧：就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。因为通常的解题中所直接选取的“微元”并不一定能使“权函数” 满足“平权”的条件，这将会给接下来

的叠加演算带来困难，所以，必须运用换“元”的技巧来改变“权函数” ，使之具备“平权性”特征以遵从取元的“平权性原则”。最常见的换“元”技巧有如下几种

（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。 5. 应用微元法解题的优越性

使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。在高中物理教学中注意“微元法”的使用和教学,对开发学生的智力,发展其创造性思维,提高学生的物理素养有着深远的意义,

例如，分析匀速圆周运动的向心加速度，根据加速度的定义，对圆周运动的速度变化进行微元分析，可以推导出向心加速度的表达式。

微元法的原理是微积分,将整体化为局部,类似于微分，在局部中进行适当的省略计算后再累加，类似于积分。

题1.真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计，ab和cd是两根与导轨垂直，长度均为l，电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m。列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示，为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计，列车启动后电源自动关闭。

（1）要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由；

（2）求刚接通电源时列车加速度a的大小；

（3）列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相

邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：要使列车停下来，前方至少需要多少块这样的有界磁场？【标准答案】

（1）M接电源正极。列车要向右运动，安培力方向应向右，根据左手定则，接通电源后，金属棒中电流方

向由a到b，由c到d，故M接电源正极。

（2）由题意，启动时ab、cd并联，设回路总电阻为R总，由电阻的串并联知识得

R总?R①； 2设回路总电流为I，根据闭合电路欧姆定律有I?设两根金属棒所受安培力之和为F，有F=BIl③

E② R总根据牛顿第二定律有F=ma④，联立①②③④式得a?2BEl⑤ mR

同理可知，回路出磁场时ab受安培力冲量仍为上述值，设回路进出一块有界磁场区域安培力冲量为I0，有I0?2I冲，设列车停下来受到的总冲量为I总，由动量定理有I总?0?mv0联立⑥⑦⑧⑨⑩式得

II总mv0RmvR=22此式错，应该是总?203 I0BlI0Bl讨论：若

I总I总I总恰好为整数，设其为n，则需设置n块有界磁场，若不是整数，设的整数部分为N，I0I0I0则需设置N+1块有界磁场。