新人教版高中数学必修1第一章《集合与函数》全章优秀教案
1.3.1（1）函数的单调性（教学设计）
教学目标
（一）知识与技能目标
学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够： 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义 2、会根据函数的图像判断函数的单调性
3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数 （二）过程目标
1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力
2、学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养 （三）情感、态度和价值观
1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯 2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心
教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明 一、复习回顾，新课引入 1、函数与映射的定义。 2、函数的常用表示方法
3、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： y y y
1 1 1
-1 -1 -1 1 x 1 x 1 x -1 -1 -1
①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？
4、作出下列函数的图象：
2
（1）y=x ； (2)y=x ； 二、师生互动，新课讲解：
2
观察函数y=x与y=x的图象，当x逐渐增大时，y的变化情况如何？ 可观察到的图象特征：
（1）函数f(x)?x的图象由左至右是上升的；
（2）函数f(x)?x的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；也就是图象在区间(??,0]上，随着x的增大，相应的f(x)随着减小，在区间(0,??)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大．
归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．
1．如何用函数解析式f(x)?x描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？
在区间(0,??)上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？
对于函数f(x)?x，经过师生讨论得出：在区间(0,??)上，任取两个x1,x2，当x1?x2时，有f(x1)?f(x2)．这时，我们就说函数f(x)?x在区间(0,??)上是增函数．
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课堂练习
请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)?x在区间(??,0]上是减函数． 2．增函数和减函数的定义 设函数f(x)的定义域为I：
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．区间D叫做函数的增区间。
（2）请你仿照增函数的定义给出函数f(x)在区间D上是减函数的定义．
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1?x2时，都有
2f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasing function）．区
间D叫做函数的减区间。
3．对定义要点分析
问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？ （2）你能分析一下减函数定义的要点吗？
引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间D上的任意两个自变量都有…”的含义．
例题选讲：
例1：（课本P29例1）图2-10是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出x=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数．
解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数．
变式训练1：如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32?C），观察这张气温变化图：
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问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？
问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．
证明：设x1，x2 是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)．
由x1＜x2，得x1-x2＜0， 于是 f(x1)-f(x2)＜0， 即 f(x1)＜f(x2)．
所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函数． 想一想：函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？试画出f(x)的图象，判断你的结论是否正确．
归纳：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1 任取x1，x2∈D，且x1 2 作差f(x1)－f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）○； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○． 变式训练2： 1在(0,+?)上为减函数。 x1（2）证明函数y?x?在（1，+∞）上为增函数． x（1）证明函数y= 课堂练习：（课本P32练习NO：1；2；3；4） 三、课堂小结，巩固反思： （1）增减函数的图象有什么特点？ 增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的． （2）用定义证明函数的单调性： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 （3）如果函数y?f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y?f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y?f(x)的单调区间． 四、布置作业： A组： 1、（课本P39习题1.3A组NO：1） 第43页 共52页 43 新人教版高中数学必修1第一章《集合与函数》全章优秀教案 2、（课本P39习题1.3A组NO：2） 3、（课本P39习题1.3A组NO：3） 4、证明函数y?x?1在（0，1）上为减函数． x B组： 2 1、作出函数y =－x +2|x|+3的图象并指出它的的单调区间。（提示：可以看作y=f(|x|)的图象的作法） 2、(tb0109105)已知函数f(x)是区间(0,+?)上的减函数，那么 (1)f(3)与f(2)的大小关系是_____________；（答：f(3) (2)f(a-a+1)与f( 2 332 )的大小关系是____________（答：f(a-a+1)?f()） 44C组： 1． 设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)， 1 求f(0)、f(1)的值； ○ 2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集． ○ 第44页 共52页 44 新人教版高中数学必修1第一章《集合与函数》全章优秀教案 1.3.1（2）函数的最大（小）值（教学设计） 教学目的： （1）理解函数的最大（小）值及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程： 一、 复习回顾，新课引入 1、用定义证明函数的单调性： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： 1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○ 2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ○ （1）f(x)??2x?3 2 （2）f(x)??2x?3 x?[?1,2] （4）f(x)?x?2x?1 x?[?2,2] 2（3）f(x)?x?2x?1 二、师生互动，新课讲解： （一）函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）． 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义． 设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x?I，都有f(x)?M； （2）存在x0?I，使得f(x0)?M． 那么，我们称M是函数y?f(x)的最小值(minimum value)． 注意： 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○ 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M○ （f(x)≥M）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 （1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 第45页 共52页 45
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