动点问题 题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点
1、（2009年齐齐哈尔市）直线y??3x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，4y B 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间 的函数关系式； （3）当S?P O Q A x 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5坐标．
解：1、A（8，0） B（0，6）
2
2、当0＜t＜3时，S=t
当3＜t＜8时，S=3／8(8-t)t
提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）
如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60o．
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0?t?2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形． C C
F E A A D O B O
注意：第（3）问按直角位置分类讨论 图（2）图（1）
C F B
A O E B
图（3）
3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线y?a(x?1)2?33(a?0)经过点A(?2，0)，抛物线的顶点为D，
1
过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC?OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°
当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。 二、 特殊四边形边上动点
4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，?B?60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A?C?B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿
A O Q B x y D P M C A?B?C?D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间
为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），．．．．
C D 解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；
P B A Q （2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是 秒；
（3）求y与x之间的函数关系式．
提示：第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。
5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（?3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S?0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，y 当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线y AC所夹锐角A H B 的正切值． A H B M M x x C O C O
图（2）
图（1）
注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；
2
第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中， ∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。 利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.
6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，C（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒． (1)求∠ABC的度数；
(2)当t为何值时，AB∥DF； (3)设四边形AEFD的面积为S． ①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线y=x+mx经过动点E，当S<23时，求m的取值范围(写出答案即可)．
2
注意：发现特殊性，DE∥OA 7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且
∠AOC=60°，点B的坐标是(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0?t?8)秒后，直线PQ交OB于点D. （1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
C P y B D A Q ,OD?（3）当a?3式；
43时，求t的值及此时直线PQ的解析3O x （4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与?OAB相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与?OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明.
OC∥AB，8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C0)B(810)，，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个三点的坐标分别为A(8，，单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
2？ 7（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．
y C 3 B D y C D B
O P A x O A （此题备用）
x
9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线
y?124x?x?10与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 189过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t＜
9时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; 2(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程． 提示：第（3）问用相似比的代换，
得PF=OA（定值）。
第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF. 三、 直线上动点
8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴
0)、C(0，3)，且当x??4和x?2时二次相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(?3，函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到
MN沿MN翻折，B 点达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△B恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与
△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． y C P N
提示：第（2）问发现
M O B A x 特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°
特殊图形四边形BNPM为菱形；
第(3)问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC相似的△BNQ ，再判
断是否在对称轴上。 9、（2009眉山）如图，已知直线y?点D，抛物线y?1x?1与y轴交于点A，与x轴交于212x?bx?c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两24
点，且B点坐标为 (1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM?MC|的值最大，求出点M的坐标。
提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时，作法同②；
第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。 10、（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动
时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。 11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为
1A??6,0?，B?6,0?，C0,43，延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于
2??点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y?kx?b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y?kx?b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；
第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问
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中考数学动点问题
