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当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值：
1 。 2?12(0?a?)?1?22∴ f(x)的最小值为－2a2－22a－，最大值为?。
212?2?2a?22a?(a?)?22?【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的
内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
4(a?1)(a?1)22a例4. 设对所于有实数x，不等式xlog2＋2x log2＋log2>02a4aa?12恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
4(a?1)(a?1)22a【分析】不等式中log2、 log2、log2三项有何联系？进行对
4a2aa?1数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
4(a?1)8(a?1)2aa?1【解】 设log2＝t，则log2＝log2＝3＋log2＝3－
a2aa?12a(a?1)22aa?1log2＝3－t，log2＝2log＝－2t， 24a2a?12a代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
2?3?t?0?t?32a，解得 ∴ t<0即log<0 ??22a?1t?0或t?6??4t?8t(3?t)?0??2a0<<1，解得0 4(a?1)(a?1)22a设元，关键是发现已知不等式中log2、 log2、log2三项之间的联 a4a2a?1系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟 练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。 xsinθcosθcos2θ10sin2θ例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。 yyxx23(x2?y2)y211 12 【解】 设 222sinθcosθ＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin2θ＋cos2θ＝ yxy2x2k2x210k2k2y210k(x+y)＝1,代入②式得： ＋ 即：2＋2＝222＝2＝3xx3(x?y)yy10 31x3x21设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ∴＝±3或± y3t3y3xsinθcos2θ【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的 ycosθx2101022422式子：1＋tgθ＝(1?tg?)?＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0， 133(1?2)tg?∴t＝3或 x31， 解得＝±3或±。 y33sinθcosθ＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。 yxxsinθ第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两 ycosθ【注】 第一种解法由 种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。 (x?1)2(y?1)2例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。 916(x?1)2(y?1)222【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于 916是实施三角换元。 x?1(x?1)2(y?1)2y?1【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ， 91634?x?1?3cosθ即：? 代入不等式x＋y－k>0得： y??1?4sinθ?3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 12 13 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终 位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0 y 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时， x ?16(x?1)2?9(y?1)2?144方程组?有相等的一组实 x＋y－k>0 ?x?y?k?0数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不 k 平面区域 等式恒成立。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知f(x3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4 3332. 函数y＝(x＋1)4＋2的单调增区间是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1] 3. 设等差数列{an}的公差d＝1，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋……＋a99的值为 2_____。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的范围是_________________。 5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a?1＋b?1的范围是____________。 226. 不等式x>ax＋3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。 27. 函数y＝2x＋x?1的值域是________________。 8. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝2，a11＋a12＋…＋a30＝12，求a31＋a32＋…＋a60。 9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。 10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线 22x＋y＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始 y D C 终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。 A B O x 2 13 14 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)?g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)?g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程； ② 由恒等的概念用数值代入法列方程； ③ 利用定义本身的属性列方程； ④ 利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： x?11. 设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 25555A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 22221122. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。 23A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为 310531，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小22正周期是_____。 5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 y26. 与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是 42____________。 【简解】1小题：由f(x)＝ x?1＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C； 214 15 2小题：由不等式解集(－ 1111,)，可知－、是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，代入232352两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D； 3小题：分析x5的系数由C10与(－1)C10两项组成，相加后得x5的系数，选D； 4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案 2?； 35小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0； y2x2y26小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。 43122Ⅱ、示范性题组： mx2?43x?n例1. 已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 x2?1【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 2【解】 函数式变形为： (y－m)x－43x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴ △＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0 即： y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根， 2?m?5?m?1?1?(m?n)?mn?12?0代入两根得：? 解得：?或? n?149?7(m?n)?mn?12?0n?5???5x2?43x?1x2?43x?5∴ y＝或者y＝ x2?1x2?1此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：?2?m?n?6，解出m、n而求得函数式y。 mn?12??7?【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域 问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。 15
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