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【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 若loga2<1，则a的取值范围是_____。
3A. (0, 2) B. (2,1) C. (0, 2)∪(1,+∞) D. (2,+∞)
33332. 非零实数a、b、c，则a＋b＋c＋abc的值组成的集合是_____。
|a||b||c||abc|A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。 A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0 C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值
4. 设f1(x,y)＝0是椭圆方程，f2(x,y)＝0是直线方程，则方程f1(x,y)＋λf2(x,y)＝0 （λ∈R）表示的曲线是_____。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况 5. 函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3 C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x2－x－1)x?2＝1的整数解的个数是_____。 A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8.z∈C，方程z－3|z|＋2＝0的解的个数是_____。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是______________。
10.解关于x的不等式： 2loga2(2x－1)>loga(x－a) (a>0且a≠1) 11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为Sn，又设Tn＝Sn，求mil
Sn?123n→∞
22Tn 。
12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z 。
13. 有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。
14. 函数f(x)＝(|m|－1)x－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。
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三、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
Ⅰ、再现性题组：
1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
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2.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。 A. f(2) 3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。 A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论 4.已知sinθ＋cosθ＝ π1，θ∈(，π)，则tgθ的值是_____。 254343A. － B. － C. D. 3434p5.已知等差数列的前n项和为Sn，且S＝Sq (p≠q，p、q∈N)，则Sp?q＝_________。 6.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。 7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。 8. 建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。 【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C； 2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A； 3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B； 1?x21?2x4小题：设tg＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A； 21?x21?x25Sp?qSnmm5小题：利用是关于n的一次函数，设Sp＝Sq＝m，＝x，则（,p）、(,q)、 pqnp?q(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0； 6小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－ 255,1]，所以答案：[－,1]； 447小题：设高h，由体积解出h＝23，答案：246； 8小题：设长x，则宽Ⅱ、示范性题组： 例1. 设a>0，a≠1，试求方程loga(x－ak)＝loga2(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考) 【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。 【解】 将原方程化为：loga(x－ak)＝loga（a>0,a≠1） 22416，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。 xx??x?ak?0x?a， 等价于 ? 22??x?ak?x?a22x2xx－()?1 ( ||>1 ）, aaaππx设＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ| 22a∴ k＝ 48 49 πθ,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1，故k<－1； 22πθ当θ∈(0, )时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故0 22当θ∈(－ 综上所述，k的取值范围是：k<－1或0 C2 转化为三角函数的值域问题，在进行三角换元时，要注意新的变量的范围。一般地，此种思路可以 解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数 -ak 范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三 -a a 角换元法、等价转化思想等数学思想方法。 x 另一种解题思路是采取“数形结合法”： 将 22原方程化为：loga(x－ak)＝logax?a，等 价于x－ak＝x?a (x－ak>0)，设曲线C1：y＝x－ak，曲线C2：y＝x?a (y>0)，如图所示。 由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时曲线C1与C2有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：k<－1或0 还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等 2222?x?ak22x?ak?0?k?1(k?1)a??2价变形为?后，解得：?>ak，即－(k?1)a，所以222k2k?x?ak?x?a?x??2k?k2?1 k>0，通分得<0，解得k<－1或0 2k 例2. 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。 【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数） 222?f(2)?0f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件?。 f(?2)?0?【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 2??f(2)?2(x?1)?(2x?1)?0则 ? 2??f(?2)??2(x?1)?(2x?1)?07?13?1解得x∈（,） 222249 50 【注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x2－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x2－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。 例3. 设等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0 。 ①.求公差d的取值范围； ②.指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考) 【分析】 ①问利用公式an与Sn建立不等式，容易求解d的范围；②问利用Sn是n的二次函数，将Sn中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时Sn取最大值的函数最值问题。 【解】① 由a3＝a1＋2d＝12,得到a1＝12－2d，所以 S12＝12a1＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0， S13＝13a1＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。 24 221242d1242d＝[n－(5－)]－[(5－)] 2dd222124224124因为d<0，故[n－(5－)]最小时，Sn最大。由－ 2d72d1242故正整数n＝6时[n－(5－)]最小，所以S6最大。 2d 解得：－ 【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用 函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。 本题的另一种思路是寻求an>0、an?1<0 ，即：由d<0知道a1>a2>…>a13，由S13＝13a7<0得a7<0，由S12＝6(a6＋a7)>0得a6>0。所以，在S1、S2、…、S12中，S6的值最大。 例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。 【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H， P 设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。 222222∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx M 22＋4rsinθ A H B D C 50
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