高中数学解题思想方法全部内容

目 录

前言 ……………………………………………………… 2 第一章 高中数学解题基本方法 ……………………… 3

一、 配方法 ……………………………………… 3 二、 换元法 ……………………………………… 7 三、 待定系数法 ………………………………… 14 四、 定义法 ……………………………………… 19 五、 数学归纳法 ………………………………… 23 六、 参数法 ……………………………………… 28 七、 反证法 ……………………………………… 32 八、 消去法 ……………………………………… 九、 分析与综合法 ……………………………… 十、 特殊与一般法 ……………………………… 十一、 类比与归纳法 ………………………… 十二、 观察与实验法 ………………………… 第二章 高中数学常用的数学思想 …………………… 35

一、 数形结合思想 ……………………………… 35 二、 分类讨论思想 ……………………………… 41 三、 函数与方程思想 …………………………… 47 四、 转化（化归）思想 ………………………… 54 第三章 高考热点问题和解题策略 …………………… 59

一、 应用问题 …………………………………… 59 二、 探索性问题 ………………………………… 65 三、 选择题解答策略 …………………………… 71 四、 填空题解答策略 …………………………… 77 附录 ………………………………………………………

一、 高考数学试卷分析 ………………………… 二、 两套高考模拟试卷 ………………………… 三、 参考答案 ……………………………………

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前 言

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；

④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。

在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

编者：东升高中 高建彪

fggjb@163.net 0760-2298253

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第一章 高中数学解题基本方法

一、 配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝

3b2)＋（b）2；

221[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] 2a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）； x2＋

211212＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。 x2xxⅠ、再现性题组：

1. 在正项等比数列{an}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

11 A. 141 C. k∈R D. k＝4或k＝1

3. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y＝log1 (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

24425155 A. （－∞, 54] B. [4,+∞) C. (－2,4] D. [4,3)

5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。

【简解】 1小题：利用等比数列性质am?pam?p＝am，将已知等式左边后配方（a3＋a5）易求。答案是：5。

2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。

4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

5小题：答案3－11。 Ⅱ、示范性题组：

222222222222223

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例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 23 B. 14 C. 5 D. 6

【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则

?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求对角线长?4(x?y?z)?24?x2?y2?z2，将其配凑成两已知式的组合形式

可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度

?2(xy?yz?xz)?11之和为24”而得：?。

4(x?y?z)?24?长方体所求对角线长为：

x2?y2?z2＝(x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝

62?11＝5

所以选B。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2. 设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(值范围。

【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,

2p2q2)+()≤7成立，求实数k的取qp[(p?q)2?2pq]2?2p2q2p2q2p4?q4(p2?q2)2?2p2q2()+()＝＝＝＝222(pq)(pq)qp(pq)(k2?4)2?8≤7， 解得k≤－10或k≥10 。

422又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k－8≥0即k≥22或k≤－22

综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22 或者 22≤k≤10。

【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

ba19981998)＋() 。 a?ba?ba2aa【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方

bbb例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求(

22虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。

【解】由a＋ab＋b=0变形得：(

222a2a)＋()＋1＝0 ， bb4

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设ω＝

a1b，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω3＝?3＝1。 b?a999又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab ，

ba2999b2999aab19981998所以 ()＋()＝()＋()＝()999＋()999＝ω

ababa?bbaa?b＋

＝2 。

【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。

?999a2ab?1?3i)＋()＋1＝0 ，解出＝后，化

2bbaab成三角形式，代入所求表达式的变形式()999＋()999后，完成后面的运算。此方法用于

ba?1?3i只是未联想到ω时进行解题。

2?1?3i假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝b，

2【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(

直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。

222A. 8 B. (a?b) C. a?b D.最小值不存在

22222. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。

A. －494 B. 8 C. 18 D.不存在

3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。

A.最大值22 B.最大值2 C.最小值22 B.最小值2

22?xy2224. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。

A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6 5. 化简：21?sin8＋2?2cos8的结果是_____。

A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 设F1和F2为双曲线x－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，

222224则△F1PF2的面积是_________。

27. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋1的最小值为___________。

x?18. 已知?〈β<α〈3π，cos(α-β)＝12，sin(α+β)＝－3，求sin2α的值。(92

24135年高考题)

9. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、（m

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2222222