第6章 多元函数微积分 6.6 多元函数的极值及其求法 习题解
1．求下列函数的极值，并判断极大与极小： ⑴f(x,y)?x?y?3x?12y?20；
2??fx(x,y)?3x?3?0【解】解方程?，求得驻点为(?1,?2)，(?1,2)，(1,?2)，(1,2)，2f(x,y)?3y?12?0??y33无不可导点，
再求出二阶偏导数
fxx(x,y)?6x，fxy(x,y)?0，fyy(x,y)?6y，于是，
①在点(?1,?2)处，有
A?fxx(?1,?2)??6，B?fxy(?1,?2)?0，C?fyy(?1,?2)??12，
有AC?B??6?(?12)?0?0，且A?0，知函数在(?1,?2)有极大值，为
22f(?1,?2)?(?1)3?(?2)3?3(?1)?12(?2)?20?38；
②在点(?1,2)处，有
A?fxx(?1,2)??6，B?fxy(?1,2)?0，C?fyy(?1,2)?12，
有AC?B??6?12?0?0，知函数在(?1,2)无极值； ③在点(1,?2)处，有
22A?fxx(1,?2)?6，B?fxy(1,?2)?0，C?fyy(1,?2)??12，
有AC?B?6?(?12)?0?0，知函数在(1,?2)无极值； ④在点(1,2)处，有
22A?fxx(1,2)?6，B?fxy(1,2)?0，C?fyy(1,2)?12，
)极小值，为有AC?B?6?12?0?0，且A?0，知函数在(1,2有f(1,2)?13?23?3?1?12?2?20?2。
⑵f(x,y)?4(x?y)?x?y；
2222??fx(x,y)?4?2x?0【解】解方程?，求得驻点为(2,?2)，无不可导点，
f(x,y)??4?2y?0??y
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第6章 多元函数微积分 6.6 多元函数的极值及其求法 习题解
再求出二阶偏导数
fxx(x,y)??2，fxy(x,y)?0，fyy(x,y)??2，于是在点(2,?2)处，有 A?fxx(2,?2)??2，B?fxy(2,?2)?0，C?fyy(2,?2)??2，
有AC?B??2?(?2)?0?0，且A?0，知函数在(2,?2)有极大值，为
22f(2,?2)?4(2?2)?(?2)2?(?2)2?8。
⑶f(x,y)?e(x?y?2y)。
2x22x2x2【解】先求出偏导数fx(x,y)?2e(x?y?2y)?e?e(2x?2y?4y?1)，
2x2fy(x,y)?e2x(2y?2)
fxx(x,y)?2e2x(2x?2y2?4y?1)?e2x?2?4e2x(x?y2?2y?1)，
fxy(x,y)?e2x(4y?4)， fyy(x,y)?2e2x，
于是有
2x2?1?fx(x,y)?e(2x?2y?4y?1)?0(,?1)，无不可导点， 解方程?，求得驻点为2x2??fy(x,y)?e(2y?2)?01于是在点(,?1)处，有
2111A?fxx(,?1)?2e，B?fxy(,?1)?0，C?fyy(,?1)?2e，
222122有AC?B?2e?2e?0?0，且A?0，知函数在(,?1)有极小值，为
2e11f(,?1)?e1[?(?1)2?2]??。
2222．讨论函数z?x?y及z?(x?y)在原点(0,0)处是否取得极值。 【解】⑴先讨论函数z?x?y在原点(0,0)处是否取得极值：
2??zx?3x?033由?知原点(0,0)是函数z?x?y的驻点， 2??zy?3y?03333222因为zxx?6x，zxy?0，zyy?6y，
知在原点(0,0)处有A?zxx(0,0)?0，B?zxy(0,0)?0，C?zyy(0,0)?0
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第6章 多元函数微积分 6.6 多元函数的极值及其求法 习题解
2从而AC?B?0，说明函数z?x?y在原点(0,0)处是否取得极值不能应用定
33理6.6.2进行判别，须另用它法。
易见，函数z?x?y在原点(0,0)附近，两个一阶偏导数zx?3x2，zy?3y2不
变号，从而函数z?x?y在原点(0,0)处无极值，
也可看到，函数z?x?y在原点(0,0)附近既可取到正值，也可取到负值，可见
333333z(0,0)?0不是极值。
⑵再讨论函数z?(x?y)在原点(0,0)处是否取得极值：
22??zx?2(x?y)2x?0222z?(x?y)的驻点， (0,0)由?知原点是函数22??zy?2(x?y)2y?022因为zxx?4(3x?y)，zxy?8xy，zyy?4(x2?3y2)，
222知在原点(0,0)处有A?zxx(0,0)?0，B?zxy(0,0)?0，C?zyy(0,0)?0
2从而AC?B?0，说明函数z?(x?y)在原点(0,0)处是否取得极值不能应用
222定理6.6.2进行判别，须另用它法。
易见，函数z?(x?y)?0恒成立，且等号仅在x?y?0时成立，即知函数
222z?(x2?y2)2在原点(0,0)处取得极小值0。
3．求棱长之和为12l（l?0），且具有最大体积的长方体体积。
【解】设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,则有4(x?y?z)?12l，
由于长方体的体积为V?xyz，
构造拉格朗日函数L?xyz??(4x?4y?4z?12l),
?Lx?yz?4??0?解方程组?Ly?xz?4??0，得?4l?x?y?z，
??Lz?xy?4??0从而代入条件，得x?y?z?l，即体积函数在给出条件下有唯一可能极值点(l,l,l)， 由问题实际可知，(l,l,l)就是最大值点，
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66多元函数的极值及其求法
