沛县五中数学竞赛试题（）
B 一．填空：（每小题10分）
1．如图6，?AOB?45，过OA上到点O的距离分别为
13，，5，7，911，，的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出
一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，． 观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10? ．
S2 S4 S3 S1 0 1 3 5 7 9 11 13 图6
A
2．如右图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，则第10个三角形的周A 长为
13．关于x的方程mx2?x?4?0有两个相等的实数根则
2B
m=___________
C
___________
1114. 若x?1?，则代数式?x2?2?2的值为
xx25． 把如图所示的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好落在AD边上的点P处，已知 ∠MPN=900，PM=6cm，
PN=8cm，那么矩形纸片ABCD的面积为___________cm2
6．．将n个边长都为lcm的正方形按如图3所示的方法摆放，点A1，A2，……，An分别为正方形的中心，则n个这
样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
二．解答题：（每小题12分）
图3
7．如图9，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形。 （1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中．．．的哪一种请将你的结论填入下表：
四边形ABCD 平行四边形EFGH 菱形 矩形 等腰梯形 （2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的．．．．条件 H D 解：
G A B
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A?45，AB?10cm，CD?4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN?10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状 由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为
y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；
（3）当x?4(s)时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．
P D M
C B M
A P D N
C B
（N）A
9．已知：a+b=-5,ab=1,
ab?的值. ba求：
10．如图，在矩形ABCD中，AB?3cm，BC?4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t?0?t≤4?．
（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形
（2）△PBQ能否成为等边三角形若能，求t的值；若不能，说明理由．
A P D
B Q
C
11．如图，已知：Rt△ABC中，?C?90?，AC?BC?2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，
当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC，AC交于D，E两点（D，E不与B，A重合）． （1）求证：MD?ME；
（2）求四边形MDCE的面积；
（3）若只将原题目中的“AC?BC?2”改为“BC?a，AC?b(a?b)”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD:ME的值．
B D
M
C
E
A
1．76 2。1/29 3。1/8 4.
8．答案：解：（1）等腰直角三角形；等腰梯形（答出三角形，梯形也给分）．
（2）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况：
P P
D E C D C E
M A ① N B M A ② G N B F H
①当0?x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①）． 此时AN?x(cm)，过点E作EH?AB于点H，则EH平分AN，
?EH?11AN?x， 221111?y?S△ANE?ANEH?xx?x2．
2224②当6?x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②）．
?EN∥BC， 此时，AN?x(cm)，∠PNM?∠B?45，CE∥BN，?四边形ENBC是平行四边形，CE?BN?10?x，
DE?4?(10?x)?x?6．
过点D作DF?AB于F，过点C作CG?AB于G， 则AF?BG，DF?AF??y?S梯形ANED1(10?4)?3， 211?(DE?AN)DF?(x?6?x)?3?3x?9． 22（3）当等腰直角三角形PMN移动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，
?当x?4(s)时，y?1212x??4?4． 44?当x?4(s)时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是
9．∵a+b=-5,ab=1,
∴a<0,b<0 原式=
abab11a?b???(?)???5. babaabA D
P B M
图2
10．答案：解： （1）若△BPQ是等腰三角形． ①如图2，当PB?PQ 时，自点P向BC引垂线， 垂足为M，则有BM?MQ． 方法一：
Q
C
BMBP， ?BCBDBPBC(5?t)420?4t ?BM?． ??BD5520?4tt40 ?． ?，解得t?5213 由△BMP∽△BCD，得
方法二：
在Rt△BMP中，BP?5?t，BM?，cos∠DBC?t2BMBC4??． BPBD5t440． ?2?，解得t?135?t5②当BQ?BP时，有t?5?t，解得t?5． 2③如图3，当BQ?PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N． 由Rt△BNQ∽Rt△BCD，得
BNBQ． ?BCBD5?tt25． ?2?，解得t?1345（2）不能．
若△PBQ为等边三角形，则
A BQ?BP?PQ．
P D
N
沛县五中数学竞赛试题苏教版
