§2.7.2 对数的运算性质
教学目标
（一） 教学知识点
1. 对数的基本性质. 2. 对数的运算性质.
(二) 能力训练要求 1. 进一步熟悉对数的基本性质.
2. 熟练运用对数的运算性质. 3. 掌握化简,求值的技巧.
教学重点
对数运算性质的应用.
教学难点
化简,求值技巧.
教学方法
启发引导法
教学过程.
一、 复习回顾
上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得： ab?N?b?logaN （a?0且a?1，N?0）
本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质. 二、讲授新课
1 . 对数的基本性质
由对数的定义可得：loga1?0 logaa?1 （a?0且a?1） 把b?logaN 代入 ab?N 可得 alogaN?N（a?0且a?1，N?0） 上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N转化为以a为底的指数
形式。
b 把a?N 代入 b?logaN 可得 b?logaa （a?0且a?1）
b 通过上式可将任意实数b转化为以a为底的对数形式。
例如： 2?aloga2?logaa2 （a?0且a?1）
2 . 对数的运算性质
接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。
指数的运算性质 ap?aq?ap?q
在上式中 设 ap?M， aq?N 则有 MN?ap?q 将指数式转化为对数式可得：
p?logaM q?logaN p?q?logaMN
∴ logaM?logaN?logaMN （M?0 N?0 a?0且a?1） 这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。
请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？
M logaM?logaN?logaNMM证明如下：∵ loga?loga?logaN?logaN
NNM ?loga(?N)?logaN
N ?logaM?logaN
对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。 根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘，
即 logaN1?logaN2?L?logaNN?logaN1N2LNn 若 N1?N2?L?NN?M
则上式可化为 nlogaM?logaMn n?N?
若将n的取值范围扩展为实数集R，上式是否还会成立？ 下证 nlogaM?logaMn （M?0 a?0且a?1 n?R） 证明：设 logaM?p 则有 M?ap ∴ Mn?anp ∴ logaMn?np
即 logaMn?nlogaM （M?0 a?0且a?1 n?R） 对数的乘法法则：M的n次方的对数会等于M的对数的n倍。 例如：log28?log223?3log22?3
提问：lga2?2lga 这个等式会成立吗？
强调：真数为偶次幂时，必须保证等式两边的对数式有意义，即真数大于0。 3 . 例题讲解
[例1]用logax，logay，logaz 表示下列各式。
x2yxy（1）loga （2）loga3
zz分析：运用对数的运算性质求解。 xy解：（1）loga?logaxy?logaz?logax?logay?logaz
z （2）logax2y3z?loga(x2y)?loga3z?logax2?logay?loga3z 11 ?2logax?logay?logaz
23[例2]求下列各式的值。
（1）log2(47?25) （2）lg5100 分析：运用对数的运算性质求解。
解：（1）log2(47?25)?log247?log225?7log24?5log22?7?2?5?19
122 （2）lg5100?lg100?lg102?lg10?
55515三、课堂练习
1．计算下列各式的值
（1）log3(27?92) （2）log7349 lg2437（3）lg14?2lg?lg7?lg18 （4）
lg93（5）(lg5)2?lg25?1 解：（1）log3(27?92)?log327?log392?log333?2log39?3?4?7
（2）log711249?log749?log772?
3337 （3）lg14?2lg?lg7?lg18
33 ?lg2?lg7?2lg7?2lg3?lg7?2lg3?lg2 ?0
对数的运算性质(公开课教案)
