2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题
1．设函数f(x)?e2x?ex?ax，若对?x?0,f(x)?2，则实数c的取值范围是
A．(??,3] B．[3,??) C．(??,2] D．[2,??) 2．设A、B为两个随机事件，且A?B,0?P(A)?1，则
A．P(AB)?1?P(B) B．P(A?B)?1?P(B) C．P(B|A)?P(B) D．P(B|A)?P(B) 3．从0，1，2，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242，这样的四位
数共有
A．1692个 B．3672个 C．3708个 D．3888个
4．已知集合M?{?1,0,1},N?{2,3,4,5,6}，设映射f:M?N满足：对任意的x?M,x?f(x)?xf(x)是
奇数，这样的映射f的个数
A．25 B．45 C．50 D．100
5．若关于x的方程2|x?1|?acos(1?x)?0只有一个实数解，则实数a的值
A．等于?1 B．等于1 C．等于2 D．不唯一 6．设a,b为非零向量，且|b|?2|a|，则b与b?a夹角的最大值为
A．
ππππ B． C． D．
643127．已知三棱锥P?ABC的底面是边长为3的正三角形，且PA?3,PB?4,PC?5，则P?ABC的体积为
A．3 B．10 C．11 D．23 8．设函数f(x)?x4?2x3?(2?m)x2?2(1?2m)x?4m?1，若对任意的实数x，f(x)?0，则实数m的取
值范围是
A．[0,??) B．[0.5,??) C．[0,1] D．[0.5,1]
?x?2y?z?2w?0,z?9．设正实数x,y,z,w满足?2yz?wx?0,则的最小值为
y?z?y,?A．6?2 B．6?22 C．6?32 D．6?42 10．给定圆O及圆内一点P，设A、B是圆O的两个动点，满足?APB?90?，则AB的中点的轨迹为
A．一个圆 B．一个椭圆 C．一段双曲线 D．一段抛物线 11．方程x?2y?3z?100的非负整数解的个数是
A．883 B．884 C．885 D．886
12．设整数a1,a2,a3满足1?ak?24(k?1,2,3)且对任意整数x，2a1x2?3a2x?4a3是24的倍数，满足条件
的有序数组(a1,a2,a3)的个数为
A．12 B．24 C．36 D．48
13．设A、B、C是三角形的三个内角，则sinA?sinBsinC的最大值
A．等于
31?53?23 B．等于 C．等于 D．不存在 22414．设w?cos2π2π?isin，P(x)?x2?x?2，则P(w)P(w2)P(w3)P(w4)? 55A．9 B．10 C．11 D．12 15．设a1,a2,的个数是
A．5 B．6 C．7 D．8
16．设ak?{1,2,3,4}(k?1,2,3,4)，对于有序数组(a1,a2,a3,a4)，记N(a1,a2,a3,a4)为a1,a2,a3,a4中所包含
的不同整数的个数，例如N(1,1,2,2)?2,N(1,2,3,1)?3，当N(a1,a2,a3,a4)取遍所有的44个有序数组时，
,a6是1，2，3，4，5，6的排列，且满足a1?5a2?10a3?10a4?5a5?a6?0，则这种排列
N(a1,a2,a3,a4)的平均值为
A．
1738717511 B． C． D． 646432417．设V?{(x,y,z)|x?2y?3z?1,x?0,y?0,z?0}，则V的体积为
A．
1111 B． C． D． 1218243618．已知f(x)?x2?ax?b在区间(?1,1)内有两个零点，则a2?2b的取值范围为
A．(?2,0) B．(0,2) C．(0,4) D．(?2,2)
?19．在△ABC中，AC?BC，P且PB11,P2,P3为AB上的点，
111P2B?P3B?AB，设Ik?PkB?PkC(k?1, 2482,3)，则
A．I1?I2?I3 B．I1?I3?I2 C．I3?I2?I1 D．I2?I1?I3
20．一根直细杆放在数轴上占用的范围是区间[0,4]，若该细杆的质量线密度为?(x)?4x?x2，则其质
量为
A．π B．2π C．3π D．4π 21．设函数f(x)?ex(x?1)2(x?2)，则
A．f(x)有两个极大值点 B．f(x)有两个极小值点 C．x?1是f(x)的极大值点 D．x?1是f(x)的极小值点
22．一道四选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．
赵说：我选的是A； 钱说：我选的是B、C、D之一； 孙说：我选的是C； 李说：我选的是D． 已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是 A．赵 B．钱 C．孙 D．李
23．某人投100次篮球，设投完前n次篮球时的命中率为rn．已知r1?0,r100?0.85，则存在0?m?100，
使得
A．rm?0.5 B．rm?0.6 C．rm?0.7 D．rm?0.8 24．设e1,e2为两个单位向量，x，y是实数，若?e1,e2??π,|xe1?ye2|?1，则 3A．x的最大值为1 B．x的最大值为23 323 3C．x?y的最大值为3 D．x?y的最大值为25．设复数w,z满足：|w?z|?1,|w2?z2|?4，则|wz|的
A．的最小值为
53511 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 422426．已知椭圆C：x2?4y2?8，直线x?2y?0与椭圆C交于A、B两点，P(x0,y0)(?2?x0?2)为椭圆C
上的动点，设直线PA、PB分别与直线x?2y?0相交于M、N两点，则 A．椭圆C上满足|OQ|2?|OM|?|ON|的点Q恰有2个 B．椭圆C上满足|OQ|2?|OM|?|ON|的点Q恰有4个 C．y轴上满足?OQN??OMQ的点Q恰有2个 D．y轴上满足?OQN??OMQ的点Q恰有4个
27．已知F为椭圆C：x2?4y2?4的左焦点，设P是椭圆C的右准线上一点，过P作椭圆C的两条切线
PA、PB，切点分别为A、B，则
A．|AB|min?0.5 B．|AB|min?1 C．△FAB的面积为定值 D．△FAB的周长为定值 28．设x，y满足(3x?y)5?x5?4x?y?0，则点(x,y)
A．只有有限个 B．有无限个 C．位于同一条直线上 D．位于同一条抛物线上 29．设函数f(x)?cos(?x??)(??0,0???π)是R上的奇函数，若y?f(x)的图象关于直线x?π对称， 4π]上是单调函数，则 12A．?的值不唯一 B．?的值唯一 C．?的值不唯一 D．?的值唯一
且f(x)在区间[0,30．已知?为随机变量，则
11A．P(|?|?)?P(?2?) B．[E(?)]2?E(?2)
22C．D(?)?D(1??) D．D(?2)?D[(1??)2] 31．已知实数a，b满足：当|x|?1时，恒有|x2?ax?b|?2，则
A．a??2 B．a?2 C．b??1 D．b?1 32．设x1,x2,,x2017均为正数，且
11??1?x11?x2?1?1，则x1,x2,,x2017中
1?x2017A．小于1的数最多一个 B．小于2的数最多只有两个 C．max{x1,x2,,x2017}?2016 D．max{x1,x2,,x2017}?2017
111(yn?zn?xn)，yn?1?(zn?xn?yn)，zn?1?(xn?yn?zn)．则 22233．数列{xn},{yn},{zn}中，xn?1?A．{xn?yn?zn}一定是等比数列
151B．当x1??,x2?时，xn?(?1)n?n
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高中数学复习提升-2、2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题
