第7讲 选修4－4 坐标系与参数方程
■真题调研——————————————
【例1】 [2019·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数
?方程为?4t
?y＝1＋t
＋11＝0.
1－t2x＝，1＋t2
2
(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ
(1)求C和l的直角坐标方程； (2)求C上的点到l距离的最小值．
2?1－t2?1－t2y??4t2?2＝??2＋解：(1)因为－1＜22≤1，且x＋?22＝1，?2?1＋t1＋t?1＋t???
y2
所以C的直角坐标方程为x＋4＝1(x≠－1)．
2
l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.
??x＝cosα，
(2)由(1)可设C的参数方程为?(α为参数，－π＜α＜π)．
??y＝2sinα
C上的点到l的距离为 |2cosα＋23sinα＋11|
＝7?
π???4cosα－3?＋11??
7?
.
π??2π
当α＝－3时，4cos?α－3?＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.
【例2】 [2019·全国卷Ⅱ]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
π
(1)当θ0＝3时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标
方程．
π
解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝3时， π
ρ0＝4sin3＝23.
π
由已知得|OP|＝|OA|cos3＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，π??
ρcos?θ－3?＝|OP|＝2.
??
π?π???
???经检验，点P2，3在曲线ρcosθ－3?＝2上． ????π??
所以，l的极坐标方程为ρcos?θ－3?＝2.
?
?
(2) 设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.
?ππ?
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是?4，2?.
?
?
?ππ?
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈?4，2?.
??
【例3】 [2019·全国卷Ⅲ]如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，π?3π???
B?2，4?，C?2，4?，D(2，π)，弧????
，
，
所在圆的圆心分别
，曲线
π??
?是(1,0)，1，2?，(1，π)，曲线M1是弧??M3是弧
.
，曲线M2是弧
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．
解：(1)由题设可得，弧
，
，
所在圆的极坐标方程分别为
ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝π?3π???π
2cosθ?0≤θ≤4?，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ?4≤θ≤4?，M3的极坐
????
?3π?标方程为ρ＝－2cosθ?4≤θ≤π?.
?
?
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知， ππ
若0≤θ≤4，则2cosθ＝3，解得θ＝6； π3ππ2π若4≤θ≤4，则2sinθ＝3，解得θ＝3或θ＝3； 3π5π若4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝6.
π??π??2π??5π??
综上，P的极坐标为?3，6?或?3，3?或?3，3?或?3，6?.
????????π??
?【例4】 [2019·江苏卷]在极坐标系中，已知两点A3，4?，??π?π???
B?2，2?，直线l的方程为ρsin?θ＋4?＝3. ????
(1)求A，B两点间的距离； (2)求点B到直线l的距离．
π?π???
解：(1)设极点为O.在△OAB中，A?3，4?，B?2，2?，由余弦定
????理，得
AB＝
?ππ?
32＋?2?2－2×3×2×cos?2－4?＝5.
?
?
π??
(2)因为直线l的方程为ρsin?θ＋4?＝3，
??π??3π
则直线l过点?32，2?，倾斜角为4.
??π??
又B?2，2?，所以点B到直线l的距离为
??
?3ππ?
(32－2)×sin?4－2?＝2.
??
■模拟演练——————————————
高考理科数学总复习教学案选修-坐标系与参数方程
