2019年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1.设正六边形ABCDEF的边长为1，则(AB?DC)?(AD?BE)? .
x2y2?2.双曲线2?2?1的右焦点为F，离心率为e，过点F且倾斜角为的直线与该双曲线
ab3交于点A、B，若AB的中点为M，且FM等于半焦距，则e? ．
3.满足(a?bi)?a?bi（其中a,b?R,i??1)的有序数组(a,b)的组数是 ． 4.已知正四棱锥?的高为3，侧面与底面所成角为依次放入球O2、O3、O4、
62?，先在?内放入一个内切球O1，然后3，使得后放入的各球均与前一个球及?的四个侧面均相切，
则放入所有球的体积之和为 ．
5.设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个，现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概率均相同），确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止．记此时取出球的次数为?，则?的数学期望为 ．
6.已知a为实数，且对任意k?[?1,1]，当x?(0,6]时，6lnx?x2?8x?a?kx恒成立，则a的最大值是 ．
7.已知数列{an}满足：an?[(2?5)n?1其中[x]表示不超过实数x的最大整](n?N*)，n2数．设C为实数，且对任意的正整数n，都有
1?C．则C的最小值是 ． ?i?1aiai?2n8.若正整数n使得方程x?y?z有正整数解(x,y,z)，称n为“好数”，则不超过2019的“好数”个数是 ．
二、解答题：本大题3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本题满分16分）设点A的坐标为(0,3)，点B,C为圆O:x?y?25上的两动点，满足?BAC?90，求?ABC面积的最大值．
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2233n10.（本题满分20分）设a,b,c1?0](,恒成立，求?的最大值．
，使得?为实数，
3?1??(1?a)(1?b)(1?c)a?b?c11.（本题满分20分）已知函数f(x)?xlnx?ax,a?R． （1）证明：当1?x?3时，
2f(x)?ax?x?21?2； x(3?x)ee（2）设函数F(x)?f(x)(x?[1,e])有极小值，求a的取值范围．
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2019高中数学联赛甘肃赛区试卷
一、填空题（每题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.已知函数f?x?1?为奇函数，函数f?x?1?为偶函数，且f?0??2，则f?4?? ．耐心等待考试结束。 ?x?1?2.已知a?0，x,y满足约束条件?x?y?3，若z?2则a? ． x?y的最小值为1，
?y?ax?3?????m?3. 已知向量a????2,?2?cos2??,b??m,?sin??，其中?,m,?为实数，若a?2b，则
m?2?的取值范围是 ．
4.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ． 5.若a0?a1?2x?1??a2?2x?1??a3?2x?1??a4?2x?1??a5?2x?1??x5，则a2? ．
23456.已知?PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA?PD?AB?2,?APD?60?，若点P,A,B,C,D 都在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 7.已知正数a,b满足2a?b?1，则4a2?b2?4ab的最大值为 ． 8.设复数z1??3?3i,z2?3?i，z?3sin??i是 ．
e为自然对数的底数，9. 已知a?R,b?R?，则?ea?lnb???a?b?的最小值为 ．
22?3cos??2，则z?z1?z?z2的最小值
?x2y210.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?，A1,A2是实轴顶点，F是右焦点，B?0,b?是虚轴端
ab点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi?i?1,2?，使得?PiA1A2?i?1,2?构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演
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2019年全国高中数学联赛四川省初赛试题及答案
