南京人口管理干部学院
2010—2011 学年第一学期
《高等数学》考试模拟试卷
一．填空题（本题共 6 小题，每小题
4 分，共 24 分）
1．设 f ( x)x 2 , x 0
2 x, x 0
， g (x)
，则 g( f ( x)) =
.
1
x x 0
2 x
x
0
1
2．已知 lim
1f ( x)
ln cos x
2 ，则 lim
f ( x)
.
x 0
4x 1
x 0
x
3
=
2n
3． f ( x)lim 1
x
2n
的间断点是
.
n
1
x
4．设函数 y3
dy
y(x) 由方程 ln( x
2
y) x y sin x 确定，则
.
dx x 0
x 1 t 2
d 2 y
，则
5． 设=
y cost
dx 2
.
6.曲线 y
ln x 上的并与直线 x y 1 垂直的切线方程为
.
二．选择题（本题共
5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 f ( x) 在 (a,b] 上连续且 lim f (x) 存在，则
（
）
x a
（ A） f (x) 在 (a,b] 上无界
（ B） f (x) 在 [a, b) 上无界
(C) f (x) 在 (a, b] 上有界
（ D） f (x) 在 [ a, b) 上有界
2. 设当
x
0 时， (1 cos x) ln(1 x 2 ) 是比 xsin x n 高阶的无穷小，而 x sin x n 是比
(ex2
1) 高阶的无穷小，则正整数
n 等于 （
）
（A） 1
（B） 2
(C)
3
（ D ）
4
3. 设数列 { xn } 与 { yn} 满足 lim xn yn
0 ，则下列正确的是
（
）
n
（ A）若 { xn } 发散，则 { yn } 必发散 （ B）若 { xn } 无界，则 { yn } 必有界 (C) 若 { x（D）若 { 1
n } 有界，则 yn 必为无穷小
} 为无穷小，则
yn 必为无穷小
xn
4. 设函数 f (u) 可导， y
f (x 2 ) ，当自变量 x 在 x
1处取得增量
x
0.1 时，相应的
函数增量 y 的线性主部为 0.1 ，则 f (1) 值为 （
）
海临电脑制作中心制作
1
（ A ） 1 （ B） 0.1
(C)
1
（ D ）
0.5
5.函数 f ( x)
( x2 x 2) | x3
x | 不可导点的个数 （
）
（A）3 个
（B）2 个
(C) 1 个
（D）0 个
三、解答题： (每小题
8 分，共 24 分)
(2x2
cos2 x) x 2 x 0
1．确定常数 a， b 的值，使函数
f ( x)
a x 0在( , )上连续 .
b x 1
x
0
x
2．设 f ( x) 为单调可导函数，其反函数为
g ( y) ，且已知 f (1)
2 ， f (1)
1，
3
f (1) 1，求 g (2) .
3. 设 y
ln( 6x 2 7 x 3) ， (n 1) ，求 y (n ) .
四、 证明题（每小题 8 分，共 32 分）
1．设 x1 10 ， xn 1 6 xn ( n 1,2, ) ，试证数列 { xn } 极限存在，并求此极限
.
1处可2．设 f ( x) 在 x
1处连续，且 lim
f (x)
x x 3 3 ，证明： f ( x) 在 x
导，
x 1
x 1
并求 f (1) .
3．设 f ( x) 在 [ 0,3] 上连续，且 f (0) f (3) ，证明至少存在一点 [ 0,2] ，使 f ( ) f (
1) .
4.设函数 f ( x) 在（
,）上有定义 , 在区间 [0, 2] 上, f ( x)
x( x
2
4)
, 若对任意的 x 都满足f (x) k f ( x 2) , 其中 k 为常数 .
1) 写出
f (x)
在
[ 2, 0]
上的表达式 ;
2)问 k 为何值时 ,
f (x)
在 x 0 处可导
.
《高等数学 A 》考试试卷答案
一．填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分
2 x2 , x 0
1. 解 g f x
1 x,0 x 1 3 x, x 1
海临电脑制作中心制作 2
f
x
ln 1
4
x
2. 条件
1
lim
lim
4
f
x
x
1f x / x ln 4
lim
ln 2
x 0ln cosx
ln 2
x 0
cosx 1 x 0
1
2x 2
lim2
f x
1
3
ln 2 ln 4
x 0
ln 2
x
2
1, x 1
3. 解 f
x
0, x
1，故间断点是 x
1
1, x 1
4.解2x y 2
3
，当
x 0 时， y 1代入上式得 y 0 1
x 2
y
3x y x y cos x
25.d y
sin t
t cost
解
dx 2
4t3
6. 解 y x 1
二．选择题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
1. 因 lim f x 存在，则对
, x a, a
，有 f x
M
2 在
，而在a
, b f x
x e
连续故有界即 f
x M ，故选 C.
2
n 1) ， ex2 1 o(x2 ) ，故有
2.1 cos x ln(1
x2 )
o( x4 ) ， x sin xn o( x 4 n 1 2, n 2
3.1
lim yn
lim
xn yn
0，选 D
n
n
xn
2xdx，4. dy
f x2
dy x 1,dx 0.1
f 1 2 0.1 0.1，所以 f 1
0.5 5.
x x0 在 x
x0 处不可导，但 x x0 x x0 在 x
x0 处一阶可导，可知
f x 在
x
0,1
三、解答题： (每小题 8 分，共 24 分)
x 2
1.解 : 当 x
0 时， f x
2x2 cos2 x
是初等函数，故它在
,0 上连续，
ln 2 x2 cos2 x
22
1
f
x 2
2 x cos x
0 0
lim f x
lim 2x
2
lim
cos
2
x
2
2
xlim
e
x 0
ex 0
x
e
x 0
x 0
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