2.2 一元二次不等式及其解法
2 ax ＋ bx ＋c＜0 {x|x1＜x＜x2} ③
1．解不等式的有关理论 (a＞0)的解集 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们4.分式不等式解法 是 ． (1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，
(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个f（x）
右边化为0，左边化为的形式． 不等式是同解不等式，这种变形称为不等式g（x）
的 ． (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式f（x）
＞0?f(x)g(x)＞0； 的结果，一般用集合表示． g（x）
2．一元一次不等式解法
f（x）
＜0?f(x)g(x)＜0； 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解g（x）
变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0??f（x）g（x）≥0；f（x）时，解集为 ；当a＜0时，解集≥0??
g（x）?g（x）≠0；?为 ．若关于x的不等式ax>b的解集是R，
??f（x）g（x）≤0.f（x）则实数a，b满足的条件是 ． ≤0??
g（x）?g（x）≠0.?3．一元二次不等式及其解法
自查自纠 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最
1．(1)同解不等式 (2)同解变形 高次数是2的不等式，称为__________不等式．
b?b???(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这2.?x|x＞a? ?x|x＜a? a＝0，b＜0 ????
个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解
3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间
组成的集合叫做一元二次不等式的________．
b??
(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一x≠－? (4)①{x|x＜x1或x＞x2} ②?x?2a???元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其③ 中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两 个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac
＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号
x－1取 ”求解集．
1．不等式≤0的解集为 ( )
2x＋1(4)一元二次不等式的解 1
－，1? A.?函数、方程与不?2?Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 1等式 －，1? B.??2?
?－∞，－1?∪[1，＋∞) C.二次函数 2??
1y＝ax2＋bx＋c －∞，－?∪[1，＋∞) D.?2??
(a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 有两相异实根x1,x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝ b－ 2a② 无实根 x－1
解：由不等式≤0，
2x＋1
① R ??2x＋1≠0，1得?解得－＜x≤1，
2
??（x－1）（2x＋1）≤0，
1
－，1?.故选A. 故原不等式的解集为??2?
2．(2019·河北八所重点中学模拟)不等式2x2－
x－3>0的解集为 ( )
3??
A.?x－1＜x＜2? B.{x|x＜－3或x＞1} ??
1
3??
C.?x|x＜－1或x＞2? D.{x|x＜－1或x＞1}
?
?
所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a.又x2－x1＝52，所以－5a＝52，所以a
解：由2x2－x－3＞0，得(x＋1)(2x－3)＞0，解3
得x>或x<－1.所以原不等式的解集为
23??
?x|x＞或x＜－1?.故选C.
2??
3．(2018·石家庄模拟改编)若不等式(1－a)x2
－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}，则不等式(a－1)x2＋ax＋1＞0的解集为 ( )
1??
A.?x－1＜x＜－2? ??
1??
B.?x|x＜－1或x＞－2? ??
1??
C.?x－1＜x＜4? ??
1??
D.?x|x＜－1或x＞4? ??
解：由题意知1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
＝－2.故填－2.
类型一 一元二次不等式的解法
例1 (1)解下列不等式． (Ⅰ)x2－7x＋12＞0； (Ⅱ)x2－2x＋1＜0.
解：(Ⅰ)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2
＝4.
而y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
(Ⅱ)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2
＝1.
而y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为?.
(2)(2018昆明模拟)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0(a∈R)， 即(ax－2)(x＋1)≥0(a∈R)．
当a＝0时，原不等式可化简为x＋1≤0， 原不等式的解集为{x|x≤－1}；
2
当a≠0时，原不等式的解集由和－1的大小
a决定，
2
故当a>0时，>－1，
a
2??
所以原不等式的解集为?x|x≤－1或x≥a?；
?
?
??4＝－2，所以?1－a解得a＝3.
6??1－a＝－3，
所以不等式(a－1)x2＋ax＋1＞0即为2x2＋3x＋1＞0，
1解得x＜－1或x＞－.
2
1??
所以所求不等式的解集为?x|x＜－1或x＞－2?.
?
?
1－a＜0，
故选B.
4．已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是________．
解：依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对于方程
x2－4x－a＝0，有
Δ＝16＋4a≥0，
解得a≥－4.故填[－4，＋∞)．
5.已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝52，则a＝________．
解法一：由题意得，x1＋x2＝a ①，x1x2＝－6a2 ②，①2－4×②可得(x2－x1)2＝25a2，又x2－x1＝52，所以25a2＝50，解得a＝±2，因为a<0，所以a＝－2.
解法二：关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，
2
2
当－2 a ?2? 所以原不等式的解集为?x|a≤x≤－1?； ? ? 2 当a＝－2时，＝－1， a 所以原不等式的解集为{x|x＝－1}； 2 当a<－2时，>－1， a 2?? 所以原不等式的解集为?x－1≤x≤a?. ??综上，不等式的解集为： 当a＝0时，{x|x≤－1}； 2?? 当a>0时，?x|x≤－1或x≥a?； ? ? ?2? 当－2 ? ? 当a＝－2时，{x|x＝－1}； 2?? 当a<－2时，?x－1≤x≤a?. ?? 点拨 解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的一元二次不等式常分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于0，小于0，等于0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1 变式1 (1)解下列不等式． (Ⅰ)－x2－2x＋3≥0； (Ⅱ)x2－2x＋2＞0. 解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0. 方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1. 而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}． (Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R. (2)若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为?，则实数a的取值范围是________． 解：依题意知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立， 当a＝0时，－x≥0不恒成立； 当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立， ?a>0，?a>0，2需?即?解得a≥，即a2≤0，4Δ≤0，1－8a??的取值范围是? 2?2，＋∞?. ?，＋∞.故填 ?4??4? ? 解：由题意得?解得a＝－ b ?a＝－3×（－2）， 1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a>0为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)·(2x＋1)<0，所以解集为 11?? ?x|－ 23?? (2)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.当x∈(－3，2)时，f(x)>0. (Ⅰ)求f(x)在[0，1]内的值域； (Ⅱ)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围． 解：(Ⅰ)依题意知，－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且a<0， b－8??－3＋2＝－a，则?所以a＝－3，b＝5， －a－ab ??－3×2＝a，则 f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3 5 ＝－3－2，a ?x＋1?＋75， ?2?4 2 1 函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，且抛物 2线开口向下，所以在区间[0，1]上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12.故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式ax2＋bx＋c≤0即为－3x2 ＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只 25 需Δ＝25＋12c≤0，即c≤－，所以实数c的取值 1225 －∞，－?. 范围为?12?? 点拨 ①已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．②三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，不少题目都与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位． 变式2 (1)已知不等式ax2－3x＋6＞0的解集为{x|b (Ⅰ)求a，b； (Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解：(Ⅰ)因为不等式ax2－3x＋6>0的解集为{x|b 所以方程ax2－3x＋6＝0的根为x1＝1，x2＝b， 3 类型二 二次不等式、二次函数及二 次方程的关系 例2 (1)(2019·广州模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3 11?11??? A.?x|－2
2021届高考数学核按钮【新高考广东版】2.2 一元二次不等式及其解法
