航空枢纽选择选址
专业：数学与应用数学 成员：刘XX王XX 指导老师：侯XX 20XX年XX月XX日
1 / 7
航空枢纽选择选址
一．问题重述
某航空公司专门从事货运。此公司在世界6个城市之间进行运输，这些城市为：A，B，C，D，E，F。此公司在这些城市之间平均每天运输的货物吨数列于下表中。文档来自于网络搜索 表格 1：每对城市之间每天平均货运量 A B C D E F A 0 500 1000 300 400 1500 B 1500 0 250 630 360 1140 C 400 510 0 460 320 490 D 300 600 810 0 820 310 E 400 100 420 730 0 970 F 350 1020 260 580 380 0
我们假定城市i和j之间的运输费用与它们之间的距离成正比。下表给出了这些城市之间的距离，单位为公里。
表格 2：城市之间的距离
A B C D E F A 945 605 4667 4749 4394 B 866 3726 3806 3448 C 4471 4541 4152 D 109 415 E 431 F
此航空公司计划使用两个城市作为连接平台（航空枢纽），以降低运输费用。然后每个城市将连接到一个枢纽。连接到枢纽H1的城市与连接到枢纽H2之间的城市之间的运输即都需要通过H1到H2这段路径，这样能够降低运输费用。我们知道两个枢纽之间的运输费用比一般运输费用低20%。使用哪两个城市作为枢纽才能够最小化总运输成本？, 最小化总运输成本为多少?。文档来自于网络搜索
二．问题分析
这是一个关于几个地点之间选中转站以减少运费的问题。题目所给影响运费的因素有距离和运输货物的重量，而每段路程的运费与距离和运输量成正比，即
文档来自于网络搜索 S∝M
2 / 7
S∝L
设次正比系数为K,则有S=KML，这里取K=1单位。
影响枢纽的选择及总运费的因素归纳后只有各点之间的运费，此时可做有向图。又总运费包括来和去，即i到j和j到i，相加后的即为各点之间的运费，此时问题可以简化为单一因素影响的选址问题，S即为所赋的权值，题目所要求的也就是取最小权值的问题。文档来自于网络搜索 观察数据，将A，B，C之间的运费，D，E，F之间的运费相比较，可知A，B，C之间所运货物重量及距离相对于三地与D，E，F之间差距比较大，故可以初步把六个城市分为两个部分，即组团ABC与组团DEF，而两个枢纽分别来自这两个组团。文档来自于网络搜索 在组团DEF中，当选定一个枢纽后，如D，则E，F对运费的影响可以确定，设DEF中有影响的那两个未被选为枢纽的城市p与q之间的运费s1。文档来自于网络搜索 估算s1与D与i之间的运费s2之间的大小，得s1<=0.2*s2，故s1对枢纽i的选择几乎没有影响。对利用组团ABC选定另一个枢纽j时也是类似的。文档来自于网络搜索 综合以上分析可以把此问题简化最小树问题。
三．符号说明
符号 s M Si(i=1,2,3) 说明 总运费 货运量 选定一个枢纽是的货运量
符号 lj l k 说明 权值矩阵 各点直线距离 单位质量单位距离的货运量（此处k取k=1） 四．模型假设
1．运费与距离和货运量成正比；
2．数据中的距离是直线距离,中途没有中转站； 3．不考虑航油费价格变动等客观因素的影响； 4．不考虑天气变化的影响。
五．模型建立及求解
3 / 7
由上述对问题的分析知，在初步确定两个组团后，从两个组团中分别选取一个城市作为枢纽，就使问题得到了极大的简化。下面对问题建立模型进行解决：
文档来自于网络搜索 一选定组团DEF后，D，E，F三个城市之间的运费是一定的，对A，B，C三个城市进行分析。由s1<=0.2*s2，选择组团DEF的一个城市D，利用最小生成树的Kruskal算法，在mathematica软件上编程（见附录）， 得到结果{{2.,3.},{1.,3.},{1.,4.}}即最小生成树，最小权值为：3745320；文档来自于网络搜索 选择组团DEF的一个城市E，得到{{2.,3.},{1.,3.},{2.,4.}}即最小生成树，最小权值为： 2905770；文档来自于网络搜索 选择组团DEF的一个城市F，得到{{2.,3.},{1.,3.},{3.,4.}}即最小生成树，最小权值为：3916360。文档来自于网络搜索 由于3916360>3745320>2905770,则选取E为枢纽时，总权值最小。
二选定组团ABC后，A，B，C三个城市之间的运费是一定的，对D，E，F三个城市进行分析。同样由由s1<=0.2*s2，选择组团ABC的一个城市A，利用最小生成树的Kruskal算法，由一知此时结果为{{2.,3.},{1.,3.},{2.,4.}}即最小生成树，所以选取2，即B为另一个枢纽。由此可得枢纽为城市B和E。文档来自于网络搜索 下面计算最小总运费（数据见附录1）：
当选D作为一个枢纽时 ： 1890000+3745320+1120150=6755470单位； 当选D作为一个枢纽时 ： 1890000+2905770+1120150=5915920单位； 当选D作为一个枢纽时 ： 1890000+3916360+1120150=6926510单位。
所以枢纽为城市B和E，最小总运输成本为5915920单位。
六．结论解释
在分析问题之后，经过初步计算，将六个城市分成ABC与DEF两个组团，这极大简化了问题。然后对这两个组团进行分析与计算：首先选定组团ABC，对组团DEF进行分析，利用最小生成树的Kruskal算法确定组团ABC中的一个城市使其到组团DEF的权值最小，经过计算此城市为B；同理选定组团DEF，对组团ABC进行分析，计算出另一个枢纽城市为E，所以得到两个枢纽城市为B和E，然后计算最小总权值，则可得出最小运输总成本。文档来自于网络搜索
七．结论推广
中国现在正准备打造航空港，这些航空港是区域性的枢纽，通过这些枢纽航空港通向外部，为区域经济的发展增加动力，即可以利用中心城市的辐射与集聚能力，也可以节省成本。中国现在正大规模修建高速铁路网，由于修建高速铁路的成本比较高，为了尽早回收成本及盈利，需要考虑客流量及所设车站所在城市的经济状况，打造一部分枢纽，如在建的合肥枢纽。周边县市的居民均可以通过区域中心城市乘坐高铁，另外减少了高速铁路的修建里程，节约了成本。在对枢纽城市进行选址时，可以考虑利用此模型并经一步细化，最大程度实现双赢。文档来自于网络搜索 4 / 7
八．模型评价
经过对问题的初步分析与计算，将六个城市分成了两个组团，这里结合运输货物的重量及六城市两两间的距离，排除了枢纽城市之间运费降低20%的影响，但由于知识能力及时间的限制并未进行严格的证明，可能欠缺考虑，但并不影响总体。接下来对模型的建立与计算则依照严格的科学依据，利用最小生成树的Kruskal算法，使用mathematica软件进行计算得出几个权值进行比较，选择最小的权值对应的城市即为枢纽城市。对于本题可能还有更好的模型及软件进行求解，以后有时间可以做进一步的尝试。文档来自于网络搜索
九．附录 1.
A,B,C之间的运费s1:
运费 A B C A 0 1890000 847000 B 1890000 0 658160 C 847000 658160 0 D,E,F之间的运费s2:
运费 D E F D 0 168950 369350 E 168950 0 581850 F 369350 581850 0 A,B,C与D,E,F之间的运费s3:
运费 A B C D 2800200 4582980 5678170 E 3899200 1750760 3360340 F 8128900 7447680 3114000 又因为枢纽之间的运费可以降低20%，故A,B,C与D,E,F之间的实际运费s4=0.8*s3:
运费 A B C D 2240160 3666384 4542536 E 3039360 1400608 2688272 F 6503120 5958144 2491200 比较s1与s3的大小：mean(s1)/mean(s3)= 0.2505
比较s2与s3的大小：max(s2)/min(s3)= 581850/1750760 = 0.3323文档来自于网络搜索 5 / 7
数学建模作业精华
