中考复习《轴对称》之“将军饮马”问题
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《轴对称》之“将军饮马”问题
“将军饮马”的起源:
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．
而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【图示】
【分析】
我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．
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在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的
两个重要结论：
1、两点之间，线段最短． 2、垂线段最短．
请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．
如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？
很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段
最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)
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那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．
【解答】
如图
【变式1】
若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？ 【图示】
【分析】
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我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．
想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？ 【解答】
如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ ，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
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