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第2章 导数与微分
2.1 极限概念
研究函数是利用极限的方法来进行; 极限是一个变量在变化过程中的变化趋势.
例1 圆的周长的求法.早在公元263年, 古代数学家刘徽用圆内接正四边形、 正五边形、 正八边形、 正十六边形……等的边长近似圆的周长, 显然随着边数的增加, 正多边形的边长将无限趋近圆的周长.
例2 讨论当x???时, x的变化趋势.
例3 讨论一个定长的棒, 每天截去一半, 随着天数的增加, 棒长的变化趋势。
”一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”——庄子?天下
定义2.3 设函数f(x)在点x0的邻域( 点x0能够除外) 内有定义, 如果当x无限趋于x0( 但x?x0) 时, f(x)无限趋近于某个常数A, 则称x趋于x0时, f(x)以A为极限, 记为
x?x01limf(x)?A 或f(x)?A (x?x0)
若自变量x趋于x0时, 函数f(x)没有一个固定的变化趋势, 则称函数f(x)在x0处没有极限.
在理解极限定义时要注意两个细节: 1.x?x0时, ( x?x0)
?x(?x0)?x0x?x2.( 包括这两种情况) 0?x(?x)?x00?资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。
例
22limxy?x1 讨论时, x?2=?
解: 求极限时, 能够利用极限的概念和直观的了解, 我们能够借助几何图形来求函数的极限.由几何图形能够看出, 当x?2时,
x2=4 y?x2?4, 即limx?2例2
x2?1x2?1 讨论函数y?,当x?1时的极限limx?1x?1x?1解: 此函数在x?1处没有定义, 能够借助图形求极限.由
x2?1?2 图形得到limx?1x?12.1.3 左极限和右极限
考虑函数y?x, 依照极限的定义, 不能考虑x?0的极限. 因为y?x在x?0处无定义.
又如函数
?xx?0f(x)??x?0是的极限, 则函数分, 如果讨论
?1x?0别在x?0和x?0时不是同一个表示式, 必须分别考虑.由此引出左右极限的概念.
定义2.4 设函数f(x)在点x0的邻域( x0点能够除外) 内有定义, 如果当x?x0且x无限于x0( 即x从x0的左侧趋于x0, 记为x?x0?) 时, 函数f(x)无限地趋近于常数L, 则称当x趋于x0时, f(x)以L为左极限, 记作
= L;
如果当x?x0且x无限趋于x0( 即x从x0的右侧趋于x0, 记为x?x0?) 时, 函数f(x)无限地趋近于常数R, 则称当x趋于x0时, f(x)以R为右极限, 记作
= R .
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极限存在的充分必要条件:
f(x)存在的充分必要条件是: 函数f(x)在x0处的左, 极限xlim?x0右极限都存在且相等.即例3
?xx?0limf(x) f(x)??, 求x?0?1x?0
解: 注意到此函数当x=0的两侧表示式是不同, 在0点处分别求左、 右极限.
x?0?limf(x)?lim?1?1, lim?f(x)?lim?x?0
x?0x?0x?0可见左右极限都存在但不相等; 由几何图形易见,由极限的定义知, 函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数, 因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量
x?x0limf(x)?0称当x?x0时, f(x)为无穷小量, 简称无穷小.
补充内容:
无穷小量是一个特殊的变量, 它与有极限变量的关系是: 变量y以为A极限的充分必要条件是: y能够表示成A与一个无穷小量的和, 即
limy?A?y?A??(lim??0)
经济数学基础讲义导数与微分
