凝聚态物理试卷C答案 一、（15分，每小题3分）判断下列各题的正确与错误（将答案写在答题纸上并标明题号，正确的写T而错的写F） （1）、在量子力学中，一切可观测的力学量算符都是厄米算符。（T）
?和B??不一定是厄米算符。?都是厄米算符，其积AB（2）、若A（T） ?和B?、B?可对易，则A?在任意态中可同时确定。（3）、若A（F）
?不能同时确定。?x和L（4）、p（F） x（5）、中心力场中，粒子的能量一定是简并的。（F） 二、（15分）试证明：厄米算符的本征值和平均值皆为实数。
????? 证：（1）、厄米算符的本征方程为F??dx?F厄米算符的定义为??F????dx得
**????dx???*?dx??*?*?dx?????*??*?dx?0????* ?F?dx?F???????*??*?的本征值?为实数。 可见F（2）、由平均值公式得F?*??dx及F??F???dx，又根据厄米性得 ??F****??dx?F?*?*dx?F?F*
??F????dx???F因此平均值F为实数 三、（20分，每小题4分）
一维无限深方势阱中的粒子，设初态时刻?t?0?处于??x,0??态和第一激发态。求
（1）??x,t? , ??x,t???（2）能量平均值H （3）能量平方平均值H （4）能量的涨落?E?2??*1???1?x???2?x???，其中分别为基2*?x,t???x,t?
?H?H? 2（5）体系的特征时间?t(分析?(x,t)随时间变化的周期)，计算?E??t 解：由无限深势阱中的粒子能量本征函数和能级分别为
2n?xn2?22?n(x)?sin , En? 得
aa2ma2
2?x22?x?222?22?1(x)?sin , ?2(x)?sin ; E1? , E2?
aaaa2ma2ma2（1）、??x,t??1??e2?i?E1t?1?x??ei?E2ti??22?i?2?22????t?????1?2ma2??ma2??t?x2?x?????e?2?x???sin ?esin ?
aa?a????iiE2t?E2t???iE1t?1?iE1t??x,t????x,t???x,t???e?1?x??e?2?x???e?1?x??e?2?x??2????* ?1?2?1??2????2??cosE?Et???1?21212??2????
?3?2??1??2??x????x??2?x?2?2?x? ??sin??sin?2sinsincos?t????????2ma2??a?aaaa?????????????15?22（2）、H?|c1|E1?|c2|E2??E1?E2??
24ma2221217??22?222222（3）、H?|c1|E1?|c2|E2??E1?E2?? ?2?28?ma?（4）、?E?2?H?H?1213?22?H?H??E1?E2???
24ma2223?22?4ma2（5）、周期?为：?E1?E2??????2????????t
2ma2E1?E23?所以有?E??t??
???sin?cos?,sin?sin?,cos??是??,??方四、（20分，每小题10分）在Sz的本征态?1???下，n2向的单位矢量，
?的可能测量值及相应的概率； （1）、求??n?1??0????1的自旋态下，求?x的可能测量值和相应的概率以及其平均值。 （2）、若电子处于??ni????????i??22cosesine????22? , ??1??? ?的本征态为：?1??解：（1）、??ni?i???2???2?sine?cose?????2??2?i???1??1??i???的本征态展开为?1????cose2?1?sine2?2，则测量??n??1的概率为将?1???按??n2222?0??0?
2???2????P?cosP?sin而测量的概率为??n??11?1????。 ?2??2?（2）、?x???01?1?1?1?1?的本征态为?? , ??1?1?????。
2?1?2??1??10?????i?2?cose?2? 按?x的本征态展开为：?1?a?1?1?a?1??1得 ???1的自旋态?1??将??ni???2??sine??2?i?1?????i????2?2a?1??cos??e?sin??e?，于是?x的测量值为?1的概率为
2??2??2??P?1?|a?1|2?1?1?sin?cos??，而其平均值为?x?|a?1|2?|a?1|2?sin?cos?。 2?E1(0)?H???*??*?五、 （20分）设哈密顿量在能量表象中的矩阵为
?(0)E2?*E3(0)?????(0)?? , ?E3(0)?E2?E1(0)?
用微扰论求能量到二级修正。
（0）?E00??01???*（0）E0解：由已知得H0??02?， H????（0）???*?00E3????0?*?????
0??即微扰矩阵元为：
????????????H12?H13?H23??H22?=H33??0 ; ?H11 ; ? ; ?。 ***??????????H31?H32?H21??由微扰论公式En(1)? , En(2)???Hnnk?||Hkn得： (0)En?Ek(0)E(1)1??0 , E?H11(2)1?1|2?|2?|2|Hk|H31|H21|?*|2|?*|2??(0)?(0)?(0)?(0)?(0)(0)(0)(0)(0)(0)?EkE1?E2E1?E3E1?E2E1?E3kE1?2|2?|2?|2|Hk|H32|H12|?|2|?*|2??(0)?(0)?(0)?(0)?(0)(0)(0)(0)(0)(0)E2?E1E2?E3E2?E1E2?E3kE2?Ek?3|2?|2?|2|Hk|H13|H23|?|2|?|2??(0)?(0)?(0)?(0)?(0)(0)(0)(0)(0)(0)E?EE?EE?EE?EE?Ek3k31323132E2E3(1)??0 , E2?H22??0 , E3?H33(2)(1)(2)
E1?EE2(1)(0)1?E?E?E?E(1)2(1)1(2)1?E(2)(0)1|?*|2|?*|2?(0)?(0)(0)E2?E1E3?E1(0)(0)2?E(0)2?E2?E3?E?E|?|2|?*|2 ?(0)?(0)E2?E1(0)E3(0)?E2|?|2|?|2?(0)?(0)E3?E1(0)E3(0)?E2E3?E(1)(0)3(1)3(2)(0)3六、（20分，每小题10分）
??yp??z?zp??y是厄米算符。 （1）、证明：角动量算符Lx（2）、设r??,r]??。 x2?y2?z2，求对易关系[Lx*??d???F解：（1）、由厄米算符的定义??F???**??d?得
*??????*??????***?????dr???yp???????? ??L?zp?dr??iy??z?dr??idxy??z??xzy???dydz???????z?y?z?y??????????????????*?????*?????i??dx?ydy???dz?dxzdzdy?????????z?y??????????????????????*?????*?????*?????*?????i??dx?ydy????????dz???dx?zdz???????dy????????z?y??????????????????????????????????*????*????i???dx?ydy????dz??dx?zdz?dy?????z?y??????????????????????????***?z?dz??dx?zdz?dy?p?*???dx?ydy??p??y????????????????????**??*?**dx?dy?dz??ypz?zpy?????Lx?dr???Lx?????????dr*??dr??L即??*Lx??x????dr说明角动量算符L*x??z?zp??y是厄米算符。 ?yp?y,r]??i（2）、[p?ry?rz?z,r]??i??i,[p??i
?yr?zr?,r]?[yp??z?zp?z,r]?z[p?y,r]?0。 ??y,r]?y[p[Lx七、（20分）设氢原子在t?0时刻处于下列状态：（1）、?100； （2）、?210； （3）、求相应的任意t时刻的波函数。 解：氢原子的波函数和能级分别为?nlm1??211??321? 2e2 ?Rnl(r)Ylm(?,?) , Enl?22a0n
（1）、?100?r,t??e（2）、?210(r,t)?ei?E1tR10(r)；
R21(r)Y10(?,?)；
i?E2tiiii?E2t?E3t??E2t?E3t?1?1?（3）、??r,t????321e?R32(r)Y21(?,?)e??211e???R21(r)Y11(?,?)e?
2?2?????a?的本征函数对应的本征值为?，那么波?a?且[a?,a?]?1，证明：如果?是N八、（20分）设算符N????的本征函数且对应的本征值为??1；而波函数??a?的本征函数且对???也是N?也是N函数?1?a2应的本征值为??1。
????? 证明：N???Na????[N?,a??1??a?]?aN?????a??aN????a?N????1??????1??1 （1）、N1?的本征矢，其本征值为??1。 ??????1??说明?1?a??也为N即N11?????????Na?????[N?,a???a???a??1??a??]?a??N???a??N??N?????1??????1??2 （2）、N2?的本征矢，其本征值为??1。 ??????1??说明?2?a???也为N即N22
??????
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