专题限时集训(十) 圆锥曲线的定义、方程及性质
[专题通关练] (建议用时：30分钟)
x2y2
1．(2019·合肥模拟)设双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，一条渐近线的
ab1
方程为y＝x，则双曲线C的方程为( )
2
A.C.
－＝1 164－＝1 6416
x2x2
y2
B.－＝1 416D．x－＝1
4
2
x2y2
y2y2
A [由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点在x轴上，
b1x2y2
则其一条渐近线的方程为y＝x＝x，可得a＝4，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.]
a2164
x2y2
2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，
ab则C的离心率为( )
A．2sin 40° C.
1
sin 50°
B．2cos 40° D.
1
cos 50°
D [由题意可得－＝tan 130°， 所以e＝＝
bab22
1＋2＝1＋tan130°＝asin130°1＋2 cos130°
211
＝. |cos 130°|cos 50°
故选D.]
3．[一题多解](2019·长沙模拟)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，点A(1，a)(a＞0)在C上，|AF|＝3.若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是( )
A．12 C．9
B．10 D．4.5
22
C [法一：因为A(1，a)(a＞0)在抛物线C上，所以a＝8，解得a＝22或a＝－22(舍去)，故直线AF的方程为y＝－22(x－2)，与抛物线的方程联立，消去y，可得x－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，由抛物线的定义，得|BF|＝4＋2＝6，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝9，故选C.
12
法二：因为直线AB过焦点F，所以xAxB＝p＝4，又xA＝1，所以xB＝4，所以|AB|＝|AF|
4
- 1 -
2
＋|BF|＝xA＋xB＋4＝9，故选C.]
y2x2
4．(2019·青岛模拟)已知抛物线x＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的一
ab2
个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为( )
1A. 2C.3 3
2
B.D.
2 23 2
2
2b32bC [如图，由|AB|＝，△FAB是正三角形，得×＝2c，化简可
a2ab22
得(2a－3b)(2a＋b)＝0，所以2a－3b＝0，所以2＝，所以椭圆的离心
a3
2
2
2
2
2
2
c率e＝＝
ab23
1－2＝，故选C.] a3
x2y2
5．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标
45原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
3A. 27C. 2
5B. 29D. 2
B [由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
45不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，
2
x2?0＋y0＝3，?则?x2y200
－＝1，??45
x2y2
2
3
56x＝，??9解得?25
y＝??9，
2020
2
所以P?
?2145?
，?， 3??3
1155
所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.
2232故选B.]
6．(2019·延安一模)已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，过F作直线l交抛物线
C于A，B两点，若|AF|＝，|BF|＝2，则p＝________.
1 [如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
- 2 -
2
∵|AF|＝，|BF|＝2，
3
2pp∴根据抛物线的定义可得x1＝－，x2＝2－，
3222p－
yx1321p?2p?∴＝＝＝，∴9?－?＝2－， yx2p92?32?
2－2
2122
∴p＝1.]
7．(2019·长春模拟)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝2，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．
x2y2
4
＋＝1 [∵F为椭圆的右焦点，|OF|＝2，∴c＝2. 2
y2
设椭圆方程为2＋2＝1(b＞0)，
b＋2b∵A，B为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA， 2yMb∴A是长轴右端点，2＋2＝1，∴yM＝2，
b＋2bb＋2
2
2
x2
b??
∴M?2，2?.
b＋2??
2
?b2＋2b?
∵A(b＋2，0)，B(0，b)，∴C?，?.
2??2
2
∵kOM＝kOC，∴
b2
b2＋2
2
b22
＝
b2＋2
，
∴b＝2.
∴所求椭圆方程是＋＝1.]
42
8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一
3620象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．
(3，15) [设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)＋y＝64上．
因为点M在椭圆＋＝1上，
3620
2
2
x2y2
x2y2
x2y2
- 3 -
2020版高考数学二轮复习专题限时集训10圆锥曲线的定义、方程及性质(文)
