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第8章 多元函数的微分法及其应用
§8.1 多元函数的基本概念
一、填空题
1．已知f(x?y,yx)?x2?y2 ，则f(x,y)= 。
2．函数2Z?4x?y的定义域为 。
ln(1?x2?y2)3．limxy= 。
x?0y?01?xy?1二、判断题
1． 如果P沿任何直线y=kx趋于（0，0）,都有limxy?f(P)?A，则limf(x?y)?A。?kx0xy??002． 从limf(x,0)?0和limf(x,2x)?2知limf(x,y)不存在。 x?0x?0xy??003． 下面定义域的求法正确吗？f(x,y)?1x?y?1?ln(x?y)
解：??x?y?1?0(1)?y?0(2)(1)?(2)?2x?1?0 ?x所以定义域为x>1/2的一切实数。
三、选择题
1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）
（A）、
yx （B）、e?xn(lx2?y2) （C）、xx?y （D）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A）、milx （B）、mil1 （C）、x2 （D）、1xy??00x?yxy??00x?ymillimxnsix?0x?0y?0x?yy?0x?y
四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。
1．z?1x?y?1
x?y
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（ ） ）
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2.z?ln(y?x)?x1?x?y22
3．z?ln[(9?x2?y2)(x2?y2?1)]
五、求下列极限，若不存在，说明理由。
1．lim1?xy
x?0x2?y2y?1 2. lim 3．lim
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1?cosx2?y2x2?y2
x?0y?0x x?0x?yy?0精品文档
§8.2 偏导数
一、判断题
1． 如果f(x,y)在(x0,y0) 处，?f存在，则一元函数f(x,y0)在（x,y0）处连续。 （ ）
?x2． 如果f在P处不连续，则f在点P偏导数均不存在。 （ ） 3．?f?x二、填空题
(x0,y0)?[df(x,y0)]x?x0 （ ） dx1. 设f(x,y)=xy?x??,则 。f(0,1)? 。 f(0,1)?yx22x?y2. 设u(x,y)有对x,y的连续偏导，且当y=x2时，u(x,y)满足?u?x， y=x(x?0)时，?u= 。
?x?y三、选择题
1. f(x,y)在(x0,y0)处?f，?f均存在是f(x,y)在(x0,y0)处连续的（ ）条件。
?x?y（A）、充分 （B）、必要 （C）、充分必要 （D）、既不充分也不必要 2． 已知
?f>0，则（ ） ?x?x22（A）、f(x,y)关于x为单调递增 （B）、f(x,y)>0 （C）、?f>0 （D）、f(x,y)=x(y2+1)
3.设函数Z=f(x,y), ?2f=2,且f(x,0)=1, fy?(x,0)?x,则f(x,y)=( )
?y2(A)、x2+xy-1 (B)、y2+xy+1 （C）、y2+xy+c （D）、x2+xy+y2+1 四、求下列函数的一阶偏导数。
1. z?lnx2?y2 2. u?lnarctanx
y
3.u=x
5.z=(1+xy)xy 6.f(x,y)=x?(y?1)arcsinx
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yz 4.F(x,y)=
?xyyf(s)ds??exdx
012y
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五、求下列函数的二阶偏导数。
1.z=x4+y4-4x2y2 2.u=lnx2?y2?z2
y3.u=arctanx 4。z?x
y
六、设z=e
222七、若u=zarctanx，求证：?u??u??u?0
y?x2?y2?Z211??xy，求证：x2?z?y2?z?2z
?x?y
八、 求f(x,y)=x2?y2在（0，0）点的偏导数。
九、设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求fxx?(0,0,1)，fxy?(1,0,2)，fyyx???(0,0,1) 。
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§8.3 全微分及其应用
一、判断题
1.如果f(x,y)在(x0,y0)满足条件：fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)存在且连续，则f(x,y)在(x0,y0)可微。（ ） 2.f(x,y)有二阶连续偏导且df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则二、填空题
?P?Q （ ） ??y?xx1.F(x,y,z)=()z,则df(1,1,1)= 。 2.设Z=ln(x+y2),则dzy三、选择题
1． 在点P处，f可微的充分条件是（ ） （A）、f的全部二阶偏导连续。 （B）、f连续
1(1,0)= 。
（C）、f的全部一阶偏导连续。 （D）、f连续且?f，?f均存在 。
?x?y2． 肯定不是某个二元函数的全微分的为（ ） （A）、ydx+xdy (B)、ydx-xdy （C）、xdx+ydy （D）、xdx-ydy 3.使df??f的函数f为（ ）
（A）、ax+by+c （B）、sinxy （C）、ex+ey （D）、x2+y2 四、求下列函数的全微分.
1.z=exysin(x+y) 2.u=xxyz
3.z=sec(xy)?x 4.z?ln1?x2?y2,求dz
xy?,x2?y2?0讨论f(x,y)在（0，0） ?2五、设2f(x,y)??x?y?22?0,x?y?0(1,1)
（1）.偏导数是否存在。 （2）.是否可微。 精品文档
(整理)第八章 多元函数的微分法及其应用 练习题.
