北京师大附中2019届上学期高中三年级期中考试
数学试卷（文科）
本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合A??x|x?4?0?，B?x|ex?1，则AIB?（ ）
A. R C. （0，4）
B. (??,4)
??D. (4,??)
2. 在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M（－1，2），则sin2?=（ ）
A. ?C.
2 54 52 54D. ?
5B.
3. 已知数列?an?满足an?1?an?3,S5?10，则a7为（ ）
A. 14 C. 15
B. 12 D. 22
uuuruuuruuur 4. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，0），B（1，1），设OP?OA?kOB(k?R)，
uuuruuuruuur且OB?OP，则|OP|=（ ）
A. 2
B.
2
1 2C.
2 2D.
5. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m⊥α，n??，则m⊥n C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α D. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
?x?3,? 6. 若x，y满足?x?y?2,则y?2x的最大值为（ ）
?y?x,?A. －6 B. －1 C. －4 D. 8 7. 在△ABC中，“a?2,b?7,B?60?”是“cosA?27”的（ ） 7A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC
uuuuruuur内部或边界上运动，则AMgBP的取值范围是（ ）
1,0] 2313C. [?,] D. [?,0]
424A. [?1,0] B. [?
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 若向量a?(1,2)与向量b?(?,?1)共线，则实数?=__________.
10. 等比数列?an?的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列. 若a1?1，则S3?__________.
?log1x,x?1?2 11. 已知函数f(x)??，则f(x)的最大值为______________；若关于x的方程
x??2?1,x?1f(x)?a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________.
12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__________，最长的棱长为__________.
2 13. 已知数列?an?的通项公式为an?n?kn，请写出一个能说明“若?an?为递增数列，则k?1”
是假命题的k的值______________
14. 某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述错误的是______________
①甲只能承担第四项工作 ②乙不能承担第二项工作 ③丙可以不承担第三项工作 ④丁可以承担第三项工作
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. （本小题13分）
已知函数f(x)?3sin(2x??6)?2sinxcosx?1.
（I）求函数f(x)的单调递增区间； （II）当x?[???,]时，求函数f(x)的最大值和最小值. 44 16. （本小题13分）
设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知a8?4,a13?14. （I）求数列?an?的通项公式；
4722（II）在公比为q(q?1)的等比数列?bn?中，b2?a8,b1?b2?b3?a13，求q?q?q?L?q.
17. （本小题13分）
在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a?2bsinA?0. （I）求角B的大小； （II）若a?c?5,b? 18. （本小题14分）
如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点.
7，求△ABC的面积.
（I）求证：PQ∥平面SAD； （II）求证：AC⊥平面SEQ；
（III）如果SA=AB=2，求三棱锥S－ABC的体积.
19. （本小题13分）
x2y23设点F为椭圆E：2?2?1(a?b?0)的右焦点，点P(1,)在椭圆E上，已知椭圆E的离心
ab2率为
1. 2（I）求椭圆E的方程；
（II）设过右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值. 20. （本小题14分）
已知函数f(x)?(x?2)lnx?2x?3. （I）求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程； （II）当x?1时，求f(x)的零点个数； （III）若函数g(x)?(x?a)lnx?
a(x?1)49在[1,??)上是增函数，求证：a?. x4参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1 C 2 D 3 A 4 C 5 B 6 B 7 A 8 D
二、填空题（每小题5分，共30分） 9. ?1； 10. 7； 11. 1；（－1，0） 12. 10；52； 2 13. （1，3）内任意一个数均可； 14. ①③④；
三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.解：（I）f(x)?3(31sin2x?cos2x)?sin2x?1 22?13?sin2x?cos2x?1?sin(2x?)?1 2235???x?k??，
23212125??所以，函数f(x)的单调递增区间是[k??,k??],k?Z；
1212由2k????2x???2k???，得k??（II）f(x)?sin(2x?由x?[?当2x?当2x??3)?1，
?????5?,]，得2x??[?,]， 44366?2，即x??3?12时，f(x)有最大值f(?12)?1?1?2；
?3???6，即x???4时，f(x)有最大值f(??11)???1?； 422 16. 解：（I）设等差数列?an?的首项为a1，公差为d，
由已知可得a1?7d?4,a1?12d?14， 解得d?2,a1??10.
所以an??10?2(n?1)?2n?12.
2（II）依题意，b1q?4,b1?b1q?b1q?14，
即b1q?4,b1?4q?10，消去b1，得2q?5q?2?0，
2
北京师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试卷及答案
