变量间的相关关系与统计
案例教师版
Newly compiled on November 23, 2020
变量间的相关关系与统计案例
【知识要点】
1.相关关系的判断
(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．
(2)样本数据(xi,yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r??(x?x)(yii?1n2nii?1ni?y)i 当r?0时，
?(x?x)?(yi?1?y)2两变量正相关，当r?0时，两变量负相关，当|r|?1且|r|越接近于1，相关程度越高，当|r|?1且|r|越接近于0，相关程度越低． 2.回归方程的求法
求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．
若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据(xi,yi)(i＝1,2，…，n)，则回归方程
??y?bx?a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
___1n1n其中x??xi，y??yi，(x,y)称为样本点的中心．
ni?1ni?1___??【重点】 回归直线y?bx?a必过样本点的中心(x,y)，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．
3．独立性检验
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
x1 x2 总计 y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d 0．05 0 3．84 1 0．010 0．001 6．6310．825 8 利用随机变量K2?n(ad?bc)2(其中n?a?b?c?d为样本容量)来
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 【例题解析】
题型一 变量间的相关关系
【例1】对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 r3
D．r2＜r4＜0＜r1＜
解析：选A 易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2＜r4＜0＜r3＜r1.
【变式1】四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且y＝－； ②y与x负相关且y＝－＋； ③y与x正相关且y＝＋； ④y与x正相关且y＝－－.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：选D 正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④，故选D.
相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．
【例2】(2014·湖北高考)根据如下样本数据
x y 3 4 5 － 6 7 － 8 － ^^^^
^得到的回归方程为y＝bx＋a，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析：选B 由表中数据画出散点图，如图， 由散点图可知b<0，a>0，选B.
^
【例3】对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为y＝－155，则实数m的值为( )
x y 196 1 197 3 200 6 203 7 204 m B． C． D． 196＋197＋200＋203＋2041＋3＋6＋7＋m17＋m
解析：选A x＝＝200，y＝＝.
55517＋m?17＋m?^
样本中心点为?200，，将样本中心点?200，代入y＝－155，可得m＝8.
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