专题4：导数及其应用 班级 姓名
一、前测训练
1． (1)曲线y?xlnx在点(1，0)的切线方程为．
(2)曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为． 答案：(1)y?x?1． 1
(2)y＝2x或y＝－4x．
2．（1）函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为． （2）函数f(x)?13x?ax2?4在(3,??)上是增函数，则实数a 的取值范围为． 313
答案：(1)(0,2)．(2)a≤2． 3．求下列函数极值(或最值)：
1
(1) f(x)＝xlnx (2)f(x)＝sinx－2x，x∈[－，] 11
答案：(1)当x＝e时，f(x)取极小值－e．
ππ3π3π
(2) 当x＝－3时，f(x)取最小值6－2．当x＝3时，f(x)取最大值2－6． 4．已知函数f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值． 1
答案：当a≤2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2． 11
当2e2＜a＜2时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(11)＝2a2(ln2a－1)．
1
当a≥2时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．
5．若不等式ax2＞lnx＋1对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． e
答案：a＞2
6．已知f(x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点，求实数a的取值范围． e
答案：(0, 2) 二、方法联想
1．切线方程
涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则另设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．
注意(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．
(2)用导数求解切线问题：①切点处的导数等于切线斜率；②切点既在切线上；
③切点也在曲线上． 变式1
函数f?x??alnx?bx2上一点P2,f?2?处的切线方程为y??3x?2ln2?2，求a,b的值
答案：a＝2，b＝1
（已知切线方程求参数） 变式2
题目：在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y?x(x?0)和y?x(x?0)均相切， 切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则4答案 3．
解析：由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1 x－x12， 函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3 x22 x－2x23．
?2x1＝3x22328所以?2，x＝3，解之得：x1＝2729． ?x1＝2x2
23??x1的值是 x2x14所以 x＝3．
2
（已知两曲线的公共切线，求切点） 变式3 曲线y??1(x?0)与曲线y?lnx公切线（切线相同）的条数为. x答案：1
（求两曲线的公切线条数） 变式4
已知函数f?x??2x?3x，若过点P?1,t?存在3条直线与曲线y?f?x?相切，求t的取
3值范围
答案：t???3,?1?
解：设切点坐标?x0,y0?，切线斜率为k，则有
3??y0?2x0?3x032? 切线方程为：y?2x?3x?6x?3??x?x0? ????000'2??k?f?x0??6x0?3因为切线过P?1,t?，所以将P?1,t?代入直线方程可得：
32t??2x0?3x0???6x0?3??1?x0?
23?t??6x0?3??1?x0???2x0?3x0?23332?6x0?3?6x0?3x0?2x0?3x0??4x0?6x0?3
32所以问题等价于方程t??4x0?6x0?3，令g?x???4x3?6x2?3
即直线y?t与g?x???4x3?6x2?3有三个不同交点
g'?x???12x2?12x??12x?x?1?
令g'?x??0解得0?x?1 所以g?x?在???,0?,?1,???单调递减，在?0,1?单调递增
g?x?极大值?g?1???1,g?x?极小值?g?0???3
所以若有三个交点，则t???3,?1?
所以当t???3,?1?时，过点P?1,t?存在3条直线与曲线y?f?x?相切 （已知公切线条数，研究参数的范围） 2．函数单调性
(1)如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的增函数； 如果在某个区间上f′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的减函数．
(2)如果f(x)在某个区间为增函数，那么在该区间f′(x)≥0；(f′(x)不恒为0) 如果f(x)在某个区间为减函数，那么在该区间f′(x)≤0．(f′(x)不恒为0) 注意 求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”． 变式1、已知f(x)＝2ax－－(2＋a)ln x(a≥0)．当a＞0时，讨论f(x)的单调性．
2
112ax－?2＋a?x＋1?2x－1??ax－1?
答案：f′(x)＝2a＋x2－(2＋a)x＝＝.
x2x21
x
1??1???11?0，，＋∞?上是增函数，在?2，a?上是减函数； ①当0＜a＜2时，f(x)在?和?2????a???②当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
1??1???11?③当a＞2时，f(x)在?0，a?和?2，＋∞?上是增函数，在?a，2?上是减函数．
??????
（已知导数等于0的两个根，求单调性） 变式2、若函数f?x??x?21lnx?1在其定义域内的一个子区间?k?1,k?1?内不是单调2函数，则实数k的取值范围_______________ 答案：?1,?3?? 2??（不单调，求参数的范围）
变式3、定义在R上的函数f(x)满足：f(x)?f?(x)?1,f(0)?4,则不等式
exf(x)?ex?3（其中e为自然对数的底数）的解集为．
(0,??)(确定函数单调性)
3．函数极值(或最值)
求解步骤：①求函数的定义域；
②求f′(x)＝0在区间内的根；
③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．
④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．
变式1、已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的
取值范围是_____． 答案：(－1,0)
解答：因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f ′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f ′(x)
＞0，右边f ′(x)＜0，所以导函数f ′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)． （已知极大（小）值点，求参数范围）
变式2、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实
数a的取值范围是______． 答案 (3，2)
解答：由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，
??－1<－62a<1，所以根据导函数图象可?
f－＝3－2a＋1>0，??f＝3＋2a＋1>0，
（已知极值点范围求参数范围）
变式3、 已知函数f(x)?alnx,g(x)??Δ＝a
2
－4×3×1>0，
又a>0，解得3 123x?2x?，对任意的x??1,???,都有22f(x)?g(x)恒成立,则实数a的最小值是______． 答案：1 (要注意到f(1)?g(1)) 4．极值(或最值)的分类讨论 （1）分类讨论根据f ′(x)＝0解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍(或合并)； 优先用十字相乘法求解 方程无解 f’(x)恒正或恒负，利用单调性求最值 极值（最值或 f′(x)=0 单调性问题） （通分） 方程有解 （先舍掉解，再比较解的大小） （2）注意数形结合． 有解在开区间内，列表求最值 区间左侧 所有解在开区间外 区间右侧 a－1 变式1、设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋－3（a∈R）．求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的单调增区间。 xa－1 答案：因为φ(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋ax＋－3(x＞0)， x a－1ax2＋x－(a－1)(ax－(a－1))(x＋1)1 所以φ'(x)＝＋a－2＝＝（x＞0）． xxx2x2……………………6分 ①当a＝0时，由φ'(x)＞0，解得x＞0； a－1 ②当a＞1时，由φ'(x)＞0，解得x＞； a③当0＜a＜1时，由φ'(x)＞0，解得x＞0； ④当a＝1时，由φ'(x)＞0，解得x＞0； a－1 ⑤当a＜0时，由φ'(x)＞0，解得0＜x＜． a a－1 所以，当a＜0时，函数φ(x)的单调增区间为(0，)； a 当0≤a≤1时，函数φ(x)的单调增区间为(0，＋∞)； a－1 当a＞1时，函数φ(x)的单调增区间为(，＋∞)． a （已知导数等于0的根，求原函数单调区间） 5．不等式恒成立问题 （1）若不等式的左右都是相同的变量x，如：对?x∈D，f(x)≤g(x)恒成立． 方法1分离变量看最值法(优先)． 方法2 变换角度看函数． 方法3 构造两个函数的图象判断位置关系(限于解填空题)．
江苏省南京市高三数学二轮专题复习(第二层次)专题4导数及其应用 Word版含答案
