?T
c) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) 因为(P→Q)∧(Q→R)?(P→R) 所以 (P→Q)∧(Q→R)为重言式。 d) ((a∧b)∨(b∧c)
∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) ?((a∨c)∧b)∨(c∧a)
?((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a)) ?(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a) 所以
((a∧b)∨(b∧c)
∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 为
重言式。 2） 证明：
a)(P→Q)?P→(P∧Q) 解法1：
设P→Q为T
（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T
（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T 命题得证 解法2：
设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。 解法3：
(P→Q) →(P→(P∧Q)) ?┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q)) ?┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q)) ?T
所以(P→Q)?P→(P∧Q) b)(P→Q)→Q?P∨Q
（设P∨Q为F，则P为F，且Q为F， 故P→Q为T，(P→Q)→Q为F， 所以(P→Q)→Q?P∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q
设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F
所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F 所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F
即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q成立。 3） 解：
a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。
b) a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜
的，那么8是偶数”。
c) a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。
d) a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。 （4） 解：
a) 如果天下雨，我不去。 设P：天下雨。Q：我不去。P→Q
逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。
逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨
b) 仅当你走我将留下。
设S：你走了。R：我将留下。R→S 逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。
（逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。
c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。
设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H
逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。
逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助
（5） 试证明P?Q，Q逻辑蕴含P。 证明：解法1：
本题要求证明(P?Q) ∧Q?P,
设(P?Q) ∧Q为T，则(P?Q)为T，Q为T，故由?的定义，必有P为T。 所以(P?Q) ∧Q?P
解法2：
由体题可知，即证((P?Q)∧Q)→P是永真式。 ((P?Q)∧Q)→P
? (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P ? (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P ? (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P ? ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P ? ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P ?┐Q∨┐P∨P ?┐Q∨T ?T （6） 解：
P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。 如果我学习，那么我数学不会不及格： P→┐Q
如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P
但我数学不及格: Q 因此我热衷于玩扑克。 R 即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q?R 证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R ? ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R ? (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R ?
((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))
? ┐Q∨P∨R∨┐P ? T
所以，论证有效。
证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，
则因Q为T，(P→┐Q) 为T，可得P为F， 由(┐R→P)为T，得到R为T。 故本题论证有效。 （7） 解：
P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数
如果6是偶数，则7被2除不尽 P→┐Q 或
5
不是素数，或
7
被
2
除
尽 ┐R∨Q
5是素数 R 所以6是奇数 ┐P 即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ?┐P 证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P
? ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P ? ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P ? ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) 因为A∨B∨┐B为永真，所以C?A∨B∨┐B成立。
d) ┐(A∧B) ?┐A∨┐B ∧(┐R∨┐Q))
? (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q) ?T
所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。 证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T， 则有R为T，且┐R∨Q 为T，故Q为T， 再由P→┐Q为T，得到┐P为T。 8） 证明： a) P?(┐P→Q)
设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T b) ┐A∧B∧C?C
假定┐A∧B∧C为T，则C为T。 c) C?A∨B∨┐B
设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。
若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。
若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。
若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。 命题得证。
e) ┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A?B∨C 设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T， 则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T
又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得
（
离散数学课后习题答案 - （左孝凌版）
