2020届高三理科数学二轮专题复习讲义（一）
《函数、导数、不等式》专题
一、专题热点透析
函数、导数和不等式这三部分内容都是高考考查的重点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题。纵观近年的高考试题，对函数的主干知识，函数知识的综合应用，函数与导数、不等式的结合，利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和最值等内容是本专题考查的重点，而本专题命题的热点主要是函数的图像与性质，以函数为背景的方程、不等式问题，以函数为模型运用导数解决的应用问题等几个方面。本专题重在讲解题型和思想方法，所选例题比较简单。
二、热点题型范例
题型一、函数的单调性与极值问题
例1．已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R．
32??内是减函数，求a的取值范围． （1）讨论函数f(x)的单调区间；（2）设函数f(x)在区间??，解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导得f?(x)?3x?2ax?1
2当a?3时，??0，f?(x)?0，f(x)在R上递增；
322?2?31?3??a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?，
32???a?a2?3?a?a2?3???a?a2?3??a?a2?3?，，???递增。即f(x)在???， ? ?递增，??递减，
??????3333????????a???（2）???a???a2?32??33a?31??332，且a2?3，解得a?2。
例2．已知定义在R上的函数f(x)?ax?bx?cx?d,其中a,b,c,d 是实数.
（1）若函数f(x)在区间(??,?1)和(3,??)上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且
32f(0)??7,f?(0)??18,求函数f(x)的表达式；
（2）若a,b,c满足b?3ac?0，求证：函数f(x)是单调函数．
解：（1）f?(x)?3ax?2bx?c.由f?(0)??18得c??18,即f?(x)?3ax?2bx?18.
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222又由于f(x)在区间(??,?1)和(3,??)上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以 －1和3必是f?(x)?0的两个根，从而??3a?2b?18?0,?a?2, 解得??27a?6b?18?0.?b??6.32又根据f(0)??7得d??7,所以f(x)?2x?6x?18x?7.
（2）因为f?(x)为二次三项式，并且??(2b)?4(3ac)?4(b?3ac)?0，当a?0时,f?(x)?0恒成立，此时函数f(x)是单调递增函数；当a?0时,f?(x)?0恒成立，此时函数f(x)是单调递减函数，因此对任意给定的实数a，函数f(x)总是单调函数。 变式：
已知f?x??ax?3x?x?1在R上是减函数，求a的取值范围。
3222解：函数f?x?的导数为f'?x??3ax?6x?1。对于x?R都有f'?x??0时，f?x?为减函数。由
2?a?03ax2?6x?1?0?x?R?可得?，解得a??3。
???36?12a?01?8?当a??3时函数f?x?在R上是减函数；当a??3时，f?x???3x?3x?x?1??3?x???，由
3?9?323函数y?x在R上的单调性，可知当a??3时函数f?x?在R上是减函数；当a??3时函数f?x?在R上
3存在增区间。综上a的取值范围是a??3。
题型二、以函数为模型运用导数解决应用问题
例3．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
18?12x3???4.5?3x(m)解：设长方体的宽为x（m），则长为2x (m)，高为h??0＜x＜?. 42??故长方体的体积为V?x??2x?4.5?3x??9x?6xm2232??33???0?x??
2??从而V?(x)?18x?18x(4.5?3x)?18x(1?x).令V'?x??0，解得x?0（舍去）或x?1，因此x?1. 当0?x?1时，V'?x??0；当1?x?3时，V'?x??0，故在x?1处V?x?取得极大值，并且这个极大223值就是V?x?的最大值，从而最大体积V?V'?x??9?1?6?1m??，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m
3变式：
某公司为获更大收益，每年要投入一定资金用于广告促销，经调查，若每年投广告费t（百万元），可增加销售额约为?t2?5t（百万元）. (0≤t≤5).
（1）若公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费才能使公司由此获得收益最大？
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（2）现公司准备共投入3百万元分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改进费x百万元，可
1增加销售额约?x3?x2?3x百万元.请设计一种资金分配方案，使该公司由此获得最大收益.（注：收益
3＝销售额－成本）
解：（1）设投入广告费t百万元，则收益y??t2?5t?t??(t?2)2?4(0≤t≤3)。 ∴t?2时，ymax?4.∴应投入2百万元广告费，由此获得收益最大。 （2）投入广告费(3?x)百万元，则收益y??13x?x2?3x?(3?x)2?5(3?x)?3 31??x3?4x?3 (0≤x≤3)
3y'??x2?4??(x?2)(x?2)
当x?2时，ymax. ∴当投入技术改造2百万元、广告费1百万元时，公司收益最大。 题型三、恒成立问题
x3?x2?3x?3a(a?0)。 例4．设函数f(x)?3(1) 如果a?1，点P为曲线y?f(x)上一个动点，求以P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； (2) 若x?[a,3a]时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围。
解：(1) 设切线斜率为k，则k?f(x)?x?2x?3 当x?1时，k取最小值-4， 又f(1)??''22020， 所以，所求切线方程为y???4(x?1)，即 12x?3y?8?0 332(2) 由f(x)?x?2x?3?0，解得：x??1或x?3。
函数f(x)在???,?1?和?3,???上是增函数，在??1,3?上是减函数。
所以 ??0?a?3a?3?0?a?3?3a?a?3 解得 a?6 或 ? 或 ??f(3a)?0?f(3)?0?f(a)?0故a的取值范围是?6,???。
例5．已知函数f?x??ax3?bx2?cx?d在x?0处取得极值，曲线y?f(x)过原点和点P（-1，2），若曲线y?f(x)在P处的切线l与直线y?2x的夹角为45，且l的倾斜角为钝角. （1）求f?x?的解析式；
（2）若y?f(x)在区间[2m?1,m?1]上是增函数，求实数m的取值范围； （3）若x1,x2?[?1,1]，求证：|f(x1)?f(x2)|?4． 解：（1）
? 曲线y?f(x)过原点，?d?0. f?(x)?3ax?2bx?c,且x?0是f(x)的极值点，
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2?f?(0)?0,?c?0，
由夹角公式得：
过点P（-1，2）的切线l的斜率为f?(?1)?3a?2b，
2?f?(?1)1?1?f?(?1)??3或f?(?1)?
1?2f?(?1)31舍去． 3切线l的倾斜角为钝角，?f?(?1)??f(?1)??2??a?b?2?a?132由? ?? 故f(x)?x?3x ,得??f?(?1)??3?3a?2b??3?b?32（2）f?(x)?3x?6x?3x(x?2)，令f?(x)?0即x(x?2)?0?x?0或x??2
?f(x)的增区间为(??,?2]和[0,??).f(x)在区间[2m?1,m?1]上是增函数，
? [2m?1,m?1]?(??,?2]或[2m?1,m?1]?[0,??)；
?m?1??2?2m?1?01? ?? m??3或?m?2 或?2?2m?1?m?1?2m?1?m?1（3）令f?(x)?3x?6x?3x(x?2)?0?x?0或x??2，
2f(0)?0,f(?1)?2,f(1)?4，
?f(x)在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，
故对任意x1,x2?[?1,1]，有|f(x1)?f(x2)|?M?N?4?0?4 变式：
设函数f(x)?x?ax?2x?b(x?R)，其中a，b?R． （1）当a??43210时，讨论函数f(x)的单调性； 3（2）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对于任意的a???2，2?，不等式f(x)≤1在??11，?上恒成立，求b的取值范围． 解：（1）f?(x)?4x?3ax?4x?x(4x?3ax?4)．
322102时，f?(x)?x(4x?10x?4)?2x(2x?1)(x?2)． 31令f?(x)?0，解得x1?0，x2?，x3?2．当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
2当a??x (?∞，0) 0 0 ?1??0，? ?2?? 1 2?1?2? ?，2??2 0 (2，∞?) ? f?(x) ? 0 ? - 4 -
f(x) ??1?2?↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 2?内是减函数． 所以f(x)在?0，?，(2，∞?)内是增函数，在(?∞，0)，?，22（2）f?(x)?x(4x?3ax?4)，显然x?0不是方程4x?3ax?4?0的根．
?1?2??为使f(x)仅在x?0处有极值，必须4x?3ax?4≥0恒成立，即有??9a?64≤0．
解此不等式，得?≤a≤．这时，f(0)?b是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是??，?．
3333（3）由条件a???2，2?可知??9a?64?0，从而4x?3ax?4?0恒成立．
222288?88???当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0．
因此函数f(x)在??11，?上的最大值是f(1)与f(?1)两者中的较大者． 为使对任意的a???2，2?，不等式f(x)≤1在??11，?上恒成立，当且仅当??f(1)≤1，?b≤?2?a，即?在
?f(?1)≤1，?b≤?2?aa???2，2?上恒成立．所以b≤?4，因此满足条件的b的取值范围是??∞，?4?．
题型四、结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题
149x?x3?x2?cx有三个极值点。 42（1）证明：?27?c?5；
例6．已知函数f(x)?（2）若存在实数c，使函数f(x)在区间?a,a?2?上单调递减，求a的取值范围。 解：（1）因为函数f(x)?3149x?x3?x2?cx有三个极值点, 所以f?(x)?x3?3x2?9x?c?0有三个4222互异的实根.设g(x)?x?3x?9x?c,则g?(x)?3x?6x?9?3(x?3)(x?1),
当x??3时，g?(x)?0, g(x)在(??,?3)上为增函数；当?3?x?1时，g?(x)?0, g(x)在(?3,1)上为减函数；当x?1时，g?(x)?0, g(x)在(1,??)上为增函数， 所以函数g(x)在x??3时取极大值,在x?1时取极小值。 当g(?3)?0或g(1)?0时,g(x)?0最多只有两个不同实根。 因为g(x)?0有三个不同实根, 所以g(?3)?0且g(1)?0，
即?27?27?27?c?0,且1?3?9?c?0，解得c??27,且c?5,故?27?c?5.
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2020届高三理科数学二轮专题复习讲义(一)
