2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、设cosx?1?x?sin?(x)，?(x)?（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小
（C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x是等价无穷小 【答案】（C）
【考点】同阶无穷小 【难易度】★★
?2，当x?0时，?(x)（ ）
1cosx?1?x?sin?(x)，cosx?1?x2
211?x?sin?(x)?x2，即sin?(x)?x
22【详解】
?当x?0时，?(x)?0，sin?(x)?(x)
??(x)
2、已知y?f(x)由方程cos(xy)?lny?x?1确定，则limn[f()?1]?（ ）
n??1?x，即?(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 22n（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A）
【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★
【详解】当x?0时，y?1.
2f()?12f(2x)?1f(2x)?f(0)limn[f()?1]?limn?lim?2lim?2f?(0) n??n??x?0x?01nx2xn方程cos(xy)?lny?x?1两边同时对x求导，得
?sin(xy)(y?xy?)?1?y??1?0 y将x?0，y?1代入计算，得 y?(0)?f?(0)?1 所以，limn[f()?1]?2，选（A）.
n??2n
3、设f(x)??
x?sinx[0,?)，F(x)??f(t)dt，则（ ）
0?2[?,2?]（A）x??为F(x)的跳跃间断点 （B）x??为F(x)的可去间断点 （C）F(x)在x??处连续不可导 （D）F(x)在x??处可导
【答案】（C）
【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
F(??0)??sintdt??2sintdt???sintdt?2，F(??0)?2，
002????F(??0)?F(??0)，F(x)在x??处连续.
F??(?)?lim?x???x0f(t)dt??f(t)dt0?x???0，F??(?)?lim?x???x0f(t)dt??f(t)dt0?x???2，
F??(?)?F??(?)，故F(x)在x??处不可导.选（C）.
1?1?x?e??1????(x?1)4、设函数f(x)??，若反常积分?f(x)dx收敛，则（ ）
11?x?e??1??xlnx
（A）???2 （B）??2 （C）?2???0 （D）0???2 【答案】（D）
【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】由
???1f(x)dx??f(x)dx??1e1e??ef(x)dx
??e???1f(x)dx收敛可知，?f(x)dx与?e1f(x)dx均收敛.
?e1f(x)dx??e11x?1，是瑕点，因为dxdx收敛，所以??1?1???2 ??1??1?1(x?1)(x?1)???ef(x)dx????e11??dx??(lnx)xln??1x???，要使其收敛，则??0
e所以，0???2，选D.
5、设z?yx?z?zf(xy)，其中函数f可微，则??（ ） xy?x?y22f(xy) （D）?f(xy) xx（A）2yf?(xy) （B）?2yf?(xy) （C）【答案】（A）
【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★
?zyy2?z1??2f(xy)?f?(xy)，?f(xy)?yf?(xy) 【详解】?xxx?yxx?z?zxyy21???[?2f(xy)?f?(xy)]?[f(xy)?yf?(xy)] y?x?yyxxx??
226、设Dk是圆域D?(x,y)x?y?1位于第k象限的部分，记
11f(xy)?yf?(xy)?f(xy)?yf?(xy)?2yf?(xy)，故选（A）. xx??Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4)，则（ ）
Dk
（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 【答案】（B）
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★
【详解】根据对称性可知，I1?I3?0.
I2???(y?x)dxdy?0（
D2，I4???(y?x)dxdy?0（y?x?0）
D4y?x?0）
因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）
【考点】等价向量组 【难易度】★★
【详解】将矩阵A、C按列分块，A?(?1,,?n)，C?(?1,,?n)
由于AB?C，故(?1,?b11?,?n)??b?n1b1n????(?1,bnn??,?n)
即?1?b11?1??bn1?n,,?n?b1n?1??bnn?n
即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.
由于B可逆，故A?CB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.
?1?1a1??200?????8、矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件是（ ）
?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数
（C）a?2,b?0 （D）a?2,b 为任意常数
【答案】（B）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.
?200??1a1?????
由?0b0?的特征值为2，b，0可知，矩阵A??aba?的特征值也是2，b，0.
?1a1??000?
????
1因此，2E?A??a?a?11?a?1?2a??4a2?0?a?0 02?b?a?02?b?a2?1?a10?2a?101???将a?0代入可知，矩阵A??0b0?的特征值为2，b，0.
?101???此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
ln(1?x)1)x? . 9、lim(2?x?0x【答案】e
【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】
12ln(1?x)ln(1?x)lim(2?)?lim[1?(1?)x?0x?0xx1x1ln(1?x)1ln(1?x)1??(1?)xxx]?limex?01ln(1?x)?(1?)xx?e1ln(1?x)lim?(1?)x?0xx
其中，lim
1ln(1?x)x?ln(1?x)?(1?)?lim?limx?0xx?0x?0xx21?1x11?x?lim?
x?02x(1?x)2x2
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