极坐标与参数方程
一、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函
数，即 ??x?f(t)
?y?f(t)并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习
1．若直线的参数方程为?A．
?x?1?2t(t为参数)，则直线的斜率为（ ）
?y?2?3t2233 B．? C． D．? 33222．下列在曲线??x?sin2?(?为参数)上的点是（ ）
?y?cos??sin?31,) C．(2,3) D．(1,3) 42A．(,?2) B．(?122??x?2?sin?(?为参数)化为普通方程为（ ） 3．将参数方程?2??y?sin?A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1)
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程 如图所示，设圆
的半径为，点
从初始位置
出发，按逆时针方向在
圆上作匀速圆周运动，设
这就是圆心在原点
，则。
，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是
转过的角度（称为旋转角）。
圆心为
，半径为的圆的普通方程是
，
它的参数方程为：
4．椭圆的参数方程 以坐标原点
为中心，焦点在
。
轴上的椭圆的标准方程为
其参数方程为，其中参数称为离心
角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为
其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，
2）。
注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角等外（即在到
区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相
的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但
当时，相应地也有
5．双曲线的参数方程
，在其他象限内类似。
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准方程为
其参数方程为
焦点在轴上的双曲线的标准方程是
，其中
其参数方程为
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线
的参数方程为
7．直线的参数方程 经过点
，过
，倾斜角为
的直线的参数方程为
。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点
，倾斜角为
的直
线的参数方程为点，任一点0；当点
在
为终点的有向线段下方时，＜0；当点
，其中表示直线上以定点的数量，当点与
在
为起
上方时，＞
重合时，=0。我们也可以把参
的坐标，
数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点
其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
北京高考近几年真题
?x??1?cos?（2014年北京.3题5分）曲线?（?为参数）的对称中心（ ）
?y?2?sin?A.在直线y?2x上 B.在直线y??2x上 C.在直线y?x?1上 D.在直线y?x?1上
（2012年北京.9题5分）直线?的交点个数为 ．
?x?2?t?x?3cos?（t为参数）与曲线?（?为参数）
y??1?ty?3sin???（2014年北京.3题5分）答案：B
（2012年北京.9题5分）答案：2
二、极坐标方程 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系
极坐标系有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
如图所示一条射线
,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引
,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其
正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点轴
为始边,射线
与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极
叫做点M的极角,记为.有序数对.
可取任意实数.
为终边的角
叫做点M的极坐标,记作
一般地,不作特殊说明时,我们认为特别地, 当点
在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一
个点的极坐标有无数种表示.
如果规定
表示;同时,极坐标
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示的点也是唯一确定的.
2.极坐标和直角坐标的互化
例题、①直角坐标为(－2，2)、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、 ②极坐标为（2，
?）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为 、 3
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