中小学教育教学资料
2.3.2椭圆及其标准方程
综合提升案·核心素养达成 [限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知抛物线y2
＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1) D．(0，1)
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p且过点(－1，1)，故－p22＝－1，解得p＝2.所以抛物线的
焦点坐标为(1，0)．答案 B
2．设抛物线x2
＝－8ay(a＞0)，F是焦点，则a表示A．F到准线的距离B．F到准线距离的14C．F到x轴的距离D．F到准线距离的
18解析 由抛物线方程知焦点F(0，－2a)，准线方程为y＝2a，则F到准线的距离d＝4a，即a＝14d.答案 B
3．抛物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8.若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A．y2
＝8xB．y2
＝－8xC．y2
＝8x或y2
＝－8xD．x2
＝8y或x2
＝－8y解析 设抛物线方程为y2
＝mx，则8＝2 m·m4，∴m＝±8.∴方程为y2
＝±8x.答案 C
4．抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值是A．4 B．4或－4C．－2 D．2或－2
解析 由题意，设抛物线的方程为x2
＝－2py(p＞0)，
由抛物线的定义及抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4可知，
2k2
＋???－2＋p2???＝16，且k2＝4p，∴p＝4，k2
＝16.∴k＝±4.答案 B
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5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的
准线上一点，则△ABP的面积为A．18B．24 C．36D．48
解析 不妨设抛物线的标准方程为y＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为
2
px＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故2
1S△ABP＝×6×12＝36.
2答案 C
6．设抛物线y＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A．4B．6C．8D．12
解析 ∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则|PQ|等于点P到焦点的距离，而|PQ|＝6，所以点P到该抛物线焦点的距离为6.答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________________．
??y2＝ax，解析 设抛物线C的方程为y＝ax(a≠0)，由方程组?得交点坐标为A(0，0)，B(a，a)，而
?y＝x，?2
2
点P(2，2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线C的方程为y＝4x.答案 y＝4x8．直线y＝x－3与抛物线y＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为
2
2
2
P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析 抛物线的准线方程为x＝－1.
??y2＝4x，联立?解得A(1，－2)、B(9，6)．
?y＝x－3，?则|AP|＝2，|BQ|＝10，|PQ|＝8，所以S梯形＝答案 48
（2＋10）·8＝48.
29．抛物线焦点在y轴上，截得直线y＝x＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________．解析 设抛物线方程为x＝my，弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)．
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联立抛物线方程与直线y＝12x＋1方程并消元，得：2x2
－mx－2m＝0，所以xm1＋x2＝2，x1x2＝－m，
2所以5＝1＋??1?2???（x1＋x2）2－4x1x2，
把xm1＋x2＝2，x1x2＝－m代入解得m＝4或－20，所以抛物线的标准方程为x2
＝4y或x2
＝－20y.答案 x2
＝4y或x2
＝－20y三、解答题(共35分)
10．(10分)已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4，－4)，(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|＝8，求直线l的方程．解析 (1)由已知可设所求抛物线的方程为y2
＝2px(p>0)，而点M(4，－4)在抛物线上，则(－4)2
＝8p，所以p＝2，故所求抛物线方程为y2
＝4x.(2)由(1)知F(1，0)，若直线l垂直于x轴，则A(1，2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，与题设不符；若直线l与x轴不垂直，
可设直线l的方程为y＝k(x－1)，再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由???y＝k（x－1），??y2＝4x，?k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，?2（k2＋于是??x1＋x2＝2）k2，??x1x2＝1，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝（1＋k2）??4（k2＋2）2?k4－4???＝4（1＋k2）k2，令
4（1＋k2）k2＝8，解得k＝±1，从而，所求直线l的方程为y＝±(x－1)．
11．(10分)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2
＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，求k的值．
解析 将y＝k(x＋2)代入y2
＝8x整理得
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2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2-3-2椭圆及其标准方程综合提升案新人教A版选修1-1
