中考数学人教版专题复习：相似三角形的判定与性质
考点 考纲要求 分值 考向预测 1. 理解比例、成比例线段、比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形相似定义； 的判定与性2. 掌握相似三角形定义、判质 定、性质； 3. 能够综合利用知识解决问题。 考点精讲 一、比例线段有关概念及性质
主要考查内容：平行线分线段成比例、相似三角形的性质（相似3～8比、周长、面积比），分 相似三角形性质与判定的综合应用，难度不大，围绕定义与基本定理出题。 1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长
ac度的比相等，即?（或a︰b=c︰d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
bd（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 2. 比例线段有关性质
① 基本性质：② 合比性质：③ 等比性质：
ac（两外项的积等于两内项的积） ??ad?bc，
bdaca?bc?d，（分子加（减）分母，分母不变） ???bdbdacema?c???ma???????(b?d???n?0)，（分子分母bdfnb?d???nb分别相加，比值不变）
注意：此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法；应用等比性质时，要考虑到分母是否为零。
【规律提升】
① 反比性质：
acbd（把比的前项、后项交换） ???，
bdac1
?ab?c?d，（交换内项）?ac?dc② 更比性质：????，（交换外项）（交换比例的内项或外项）
bdba??db?c?a,（同时交换内外项）?【随堂练习】
已知
a?ba?cb?c＝＝＝k，请求出k的值。 cba答案：解：①a+b+c≠0时， ∵
a?ba?ca?b?a?c?b?cb?c＝＝＝k，∴＝k，∴k=2。 cbc?b?aa②a+b+c=0时，a+b=－c∴k=－1。
思路分析：分类讨论，一种情况为a+b+c≠0时，根据比例的基本性质，三等式相加，即
可得出k值；一种情况为a+b+c=0时，根据等式性质转化关系求值。
二、相似的有关概念 1. 相似
形状相同的两个图形是相似的图形。如果两个图形是相似图形，那么这两个图形的对应角相等，对应边的长度成比例。
2. 相似三角形
2
① 定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
② 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 ③ 性质：
相似三角形的对应角相等；
相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
相似三角形（多边形）的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 ④ 判定：
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；（此定理用得最多） 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
直角三角形相似判定定理：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 【随堂练习】
（邵阳）如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
思路分析：可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED。
答案：解：∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED。故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）。
典例精析
例题1 （泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，
BF∠ABC的角平分线分别交AD、AC于点E、F，则的值是（ ）
EFA.
2?1 B. 2+2 C.
2+1 D.
2
3
思路分析：作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出再由AB=2BC求解。
答案：解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴
BFBG=，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，EFGABFBG=， EFGA∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的角平分线，∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，BF＝BF，GF＝CF ∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB， ∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=2BC，∴故选C。
BC1BFBG====2+1。 EFGA2BC?BC2?1
技巧点拨：本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题
的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB=2BC再利用比例式求解。
例题2 （宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
思路分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC；②△APD∽△BCP。这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数。
4
答案：解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°。∵AD∥BC， ∴∠A=180°－∠B=90°， ∴∠PAD=∠PBC=90°。AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8－x。若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
① 若△APD∽△BPC，则AP︰BP=AD︰BC，即x︰（8－x）=3︰4，解得x=
24； 7② 若△APD∽△BCP，则AP︰BC=AD︰BP，即x︰4=3︰（8－x），解得x=2或x=6。 ∴满足条件的点P的个数是3个，故选C。
技巧点拨：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键。
例题3 （北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长。小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）。请回答：∠ACE的度数为 ，AC的长为 。 参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长。
ABAEBE＝＝=2，根据等腰三角DFEFDE形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案。
思路分析：根据相似的三角形的判定与性质，可得
答案：解：∠ACE=75°，AC的长为3。过点D作DF⊥AC于点F。 ∵∠BAC=90°=∠DFA，∴AB∥DF， ∴△ABE∽△FDE，∴∴EF=1，AB=2DF。
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，AC=AD。 ∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，∴DF=AFtan30°=3，AD=2DF=23。
5
ABAEBE＝＝=2 DFEFDE
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