学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________
评卷人 得分 一、选择题
x2y2?2?1 (a?0,b?0)2ab1．双曲线经过点(3，2)，且离心率为3，则它的虚轴长是
A.25 B.45 C.2 D.4
2．已知函数f?x??e,g?x??ax?ax.，若曲线y?f?x?上存在两点，这两点关于直
x2线y?x的对称点都在曲线y?g?x?上，则实数a的取值范围是( ) A. ?0,1?
B. ?1,???
C. ?0,???
D.
?0,1???1,???
3．已知抛物线x?4y上有一条长为8的动弦AB，则弦AB的中点到x轴的最短距离为（） A. 2
B. .3
C. 4
D. 5
4．记等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?3，S13?91，则S11?（ ） A. 36 评卷人 2B. 72
得分 二、填空题
C. 55 D. 110
5．一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为2cm的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为___________. 6．已知数列?an?满足a2+a5=18,a3a4=32，若{an}为单调递增的等差数列，其前n项和为Sn，则S10?__________；若{an}为单调递减的等比数列，其前n项和为Tn?63，则
n?__________.
评卷人 得分 三、解答题
7．(本小题满分12分)
己知函数f(x)＝x－alnx＋a3－1(a>0)。
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
1(2)讨论函数f(x)在(a，＋∞)上的单调性；
(3)若函数g(x)＝2x3－x2lnx－16x＋20，求证：g(x)>0。
请考生注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
8．(本小题满分15分)如图，ABCDEF是由两个全等的菱形ABEF和CDFE组成的空间图形，AB＝2，∠BAF＝∠ECD＝60°。
(1)求证：BD⊥DC；
(2)如果二面角B－EF－D的平面角为60°，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值。
9．在?ABC中，AC?1，?ABC?120?，?BAC??，记f(?)?AB?BC.求f(?)的值域.
10．过抛物线C:y?2px?p?0?的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两
2点，且MN?2． （1）求p的值；
（2）抛物线C上一点Q?x0,1?，直线l:y?kx?m（其中k?0）与抛物线C交于A，
B两个不同的点（均与点Q不重合），设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，
1k1k2??．动点H在直线l上，且满足OH?AB?0，其中O为坐标原点．当线段OH2最长时，求直线l的方程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人 得分 一、选择题
1．无 2．D 解析：D 【解析】
x2因为f?x??e与f(x)?lnx图像关于直线y?x对称，所以只需g?x??ax?ax与
f(x)?lnx有两个交点，即方程ax2?ax?lnx有两个根，显然x?1是其一个根，所以
只需要ax2?ax?lnx在x?(0,1)或上有一个根即可，即a?（，1+?）lnx只需一解，令x2?xh(x)?k?(x)?x?1?lnx(2x?1)lnx?h(x)?，则，令k(x)?x?1?lnx(2x?1)，则
(x2?x)2x2?x1?1?2lnx，当x?(0,1)时，k?(x)?0，x?时k?(x)?0，所以当（，1+?）xx?1，
k(x)max?k(1)?0
，所以h?(x)?0，所以x?(0,1)时h(x)是减函数，x?时h(x)是减函数，当（，1+?）x?1,h(x)?1，所以h(x)?(0,1)?(1,??)，故a?(0,1)(1,??)，选D．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意求得准线方程，分别过A作AA1?l于A1，过B作BB1?l于B1设弦AB的中点为M，过M作MM1?l于M1, 则可表示出|MM1|?线定义可得.
【详解】由题意得抛物线的准线l的方程为y??1，过A作AA1?l于A1，过B作
|AA1?BB1|2,根据AF?BF的范围和抛物
BB1?l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1?l于M1，则2|MM1|?|AA1?BB1|，设抛
物线的焦点为F，则AF?BF?|AB|，即|AA1?BB1|?|AF|?|BF|?8（当且仅当A，B，F三点共线时等号成立），所以|AA1?BB1?2MM1|?8，解得|MM1|?4，即孩AB的中点到x轴的最短距离为.选4?1?3. 故答案B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质．关键是对抛物线的定义的灵活利用．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n项和性质得a7，再根据等差数列性质求S11.
【详解】因为S13??a1?a13??13?13a27?91，所以a7?7，
因为a5?3，所以a5?a7?10， 因为a1?a11?a5?a7?10， 所以S11??a1?a11??11?55.选C.
2【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 评卷人 得分 二、填空题
5．【解析】 【分析】
题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为， 解析：2?42cm2
【解析】 【分析】
题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为1cm， 设高
hcm，由题意可得：12?12?h2?22，?h2?2,h?2，
该四棱柱的表面积为S?2?1?1?1?2?1?2?2?42cm. 故答案
：2?42cm2．
??2【点睛】本题主要考查正四棱柱外接球的性质，正四棱柱的表面积的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．(1). 370 (2). 6 【解析】 【分析】
（1）为单调递增的等差数列，则公差．由数列满足，，可得，，可得，为一元二次方程的两个实数根，且，解得再利用通项公式与求和公式即可得出
解析： (1). 370 (2). 6 【解析】 【分析】
（1）{an}为单调递增的等差数列，则公差d?0．由数列{an}满足a2?a5?18，
a3a4?32，可得a2?a5?18?a3?a4，a3a4?32，可得a3，a4为一元二次方程
x2?18x?32?0的两个实数根，且a3?a4，解得再利用通项公式与求和公式即可得
出．②设等比数列{an}的公比为q，根据已知可得a2，a5是一元二次方x2?18x?32?0的两个实数根，又{an}为单调递减的等比数列，可得a2?16，a5?2．再利用通项公式与求和公式即可得出．
【详解】①{an}为单调递增的等差数列，则公差d?0．
数列{an}满足a2?a5?18，a3a4?32， ?a2?a5?18?a3?a4
，a3a4?32，
则a3，a4为一元二次方程x2?18x?32?0的两个实数根，且a3?a4， 解得a3?2，a4?16，
可得d?14，?a1?2?14?2，解得a1??26． ?S10??26?10?10?9?14?3702
．
②设等比数列{an}的公比为q，?a2
数列{an}满足a2?a5?18，a3a4?32?a2a5，
，a5是一元二次方程x2?18x?32?0的两个实数根， 又{an}为单调递减的等比数列，?a2?16，a5?2． ?q3?18
，解得q??a1?1． 21?162
，解得a1?32．
132?[1?()n]2?Tn?63?11?2 ，解得n?6．
故答案为：(1). 370 (2). 6
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．
2020年全国各地高考试题解析
