§6.2 等差数列
一．课程目标
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系.
二．知识梳理
1.定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数).
2.通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
3.前n项和公式
等差数列的前n项和公式：Sn?na1?d为公差，an为第n项).
3.等差数列的常用性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和. (1)通项公式的推广：an?am?(n?m)d(n,m?N*)
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am?an?ap?aq。特别的，当m?n?2p时，am?an?2ap
(3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(5)若{an},{bn}是等差数列，则{pan?qbn}仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质
n(n?1)2d?n(a1?an)2其中n∈N*，a1为首项，
（1）若{an}是等差数列，则{公差的
12Snn其首项与{an}的首项相同，公差为{an}的}也是等差数列，
。
（2）数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a.若项数为2n，则S偶?S奇?nd,S奇S偶?anan?1。
S奇S偶nn?1 b.若项数为2n?1，则S偶?n(n?1)an，S奇?nan，S偶?S奇?an,anbnS2n?1T2n?1?。
（4）若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，则5.等差数列的前n项和公式与函数的关系： （1）S?d2n?(a1?2?
d2Sn＝An＋Bn(A，B为常数). )n，数列{an}是等差数列?
2
（2）在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
三．考点梳理
1.等差数列的概念及运算 例1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A.100
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.
练习1.(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于( ) 17A. 2
19 B.
2
C.10
D.12
B.99
C.98
D.97
2.等差数列的性质
例1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A.5
B.7
C.9
D.11
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A.63
例3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A.13
B.12
C.11
D.10
B.45
C.36
D.27
例4.(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
例5.(2016·武汉调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( )
A.－1 B.－2
Sn2n－3例6.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则
Tn4n－3a9a3＋的值为________. b5＋b7b8＋b4
3.等差数列与函数
例1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( ) A.5
a69
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为( )
a511A.9
B.10
C.11
D.12
B.6
C.7
D.8
C.－3
D.－4
例3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51
例4.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为( ) A.36
例5.设{Sn}是公差为d（d?0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（ ） A.若d<0，则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项，则d<0
C.若数列{Sn}为递增数列，则对任意n?N*，均有Sn>0 D.若对任意n?N*，均有Sn>0，则数列{Sn}为递增数列
例6.设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn>0成立的最大的自然数n是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
方法总结：求等差数列前n项和的最值，常用的方法： (1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.
B.6
C.4
D.2
等差数列性质
