所以S?64,当1?2k2?k2?2时,即k??1时取等号． 9????13分
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S?8
9．（本小题满分14分）
x2y22
已知椭圆2＋2＝1（a>b>0）的左．右焦点分别为F1．F2，离心率e＝，右准线方程为x＝2．
ab2
（1）求椭圆的标准方程；
226→→
（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M．N两点，且|F2M＋F2N|＝，求直线l的方程．
3
2＝，?ca2
9．解析：（1）由条件有?a
?c＝2
2
解得a＝2，c＝1．
∴b＝a2－c2＝1．
x22
所以，所求椭圆的方程为＋y＝1．
2
（2）由（1）知F1（－1,0）．F2（1,0）．
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，
2
将x＝－1代入椭圆方程得y＝±．
2
22不妨设M?－1，?．N?－1，－?，
2?2???
22→→
∴F2M＋F2N＝?－2，?＋?－2，－?＝（－4,0）．
2??2??
→→∴|F2M＋F2N|＝4，与题设矛盾． ∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋1）．
x22??2＋y＝1，
设M（x，y）．N（x，y），联立?
1
1
2
2
??y＝k(x＋1)
消y得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0．
－4k22k
由根与系数的关系知x1＋x2＝，从而y＋y＝k（x＋x＋2）＝． 1212
1＋2k21＋2k2→→又∵F2M＝（x1－1，y1），F2N＝（x2－1，y2）， →→∴F2M＋F2N＝（x1＋x2－2，y1＋y2）． →→∴|F2M＋F2N|2＝（x1＋x2－2）2＋（y1＋y2）2 8k2＋2?2?2k?24(16k4＋9k2＋1)?＝?2＝． ?＋
4k4＋4k2＋1?1＋2k2??1＋2k?
4(16k4＋9k2＋1)?226?2∴＝．
4k4＋4k2＋1?3?化简得40k4－23k2－17＝0，
17
解得k2＝1或k2＝－（舍）．∴k＝±1．
40
∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．
6
x2y2210．（本小题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?，左、右焦点分别为F1、
2abF2，点P(2,3)满足F2在线段PF1的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程;
（2）如果圆E：(x?)?y?r被椭圆C所覆盖，求圆的半径r的最大值．
1222214.（本小题满分12分）
a． ?lnx?1，g(x)??lnx?1?ex?x（其中e为自然对数的底数）
x（1）判断函数f(x)在区间?0,e?上的单调性；
已知a?R，函数f(x)?（2）是否存在实数x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直? 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． 解（1）：∵f(x)?a1x?aa?lnx?1，∴f?(x)??2??2．
xxxx令f?(x)?0，得x?a．
①若a?0，则f?(x)?0，f?x?在区间?0,e?上单调递增.
②若0?a?e，当x??0,a?时，f?(x)?0，函数f?x?在区间?0,a?上单调递减， 当x??a,e?时，f?(x)?0，函数f?x?在区间?a,e?上单调递增， ③若a?e，则f?(x)?0，函数f?x?在区间?0,e?上单调递减. ……6分 （2）解：
∵g(x)??lnx?1?e?x，x??0,e?，
xxe?1??（1）可知，当a?1g?(x)??lnx?1??e??lnx?1??e??1???lnx?1?ex?1???lnx?1?ex?1由x?x?1时，f(x)??lnx?1．
x1此时f(x)在区间?0,e?上的最小值为ln1?0，即?lnx?1?0．
x?1?1x当x0??0,e?，e0?0，?lnx0?1?0，∴g?(x0)???lnx0?1?ex0?1?1?0．
x0?x0?曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直等价于方程g?(x0)?0有实数解．
xx而g??x0??0，即方程g?(x0)?0无实数解． 故不存在x0??0,e?，使曲线y?g(x)在
x?x0处的切线与y轴垂直……12分
15．（本小题满分12分）
已知线段CD?23，CD的中点为O，动点A满足AC?AD?2a（a为正常数）． （1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；
（2）若a?2，动点B满足BC?BD?4，且OA?OB，试求?AOB面积的最大值和最小值． 解（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系.若AC?AD?2a?23，即0?a?3，动点A所在的曲线不存在；若AC?AD?2a?23，即a?3，动点A所在的曲线方程为
7
y?0(?3?x?3)； 若AC?AD?2a?23，即a?3，动点A所在的曲线方程为x2y2??1.……4分 a2a2?3x2x22?y?1.由条件知A,B两点均在椭圆?y2?1上，且OA?OB (2)当a?2时，其曲线方程为椭圆441设A(x1,y1)，B(x2,y2)，OA的斜率为k(k?0)，则OA的方程为y?kx，OB的方程为y??x 解方
k?y?kx?程组?x2 2??y?1?44k2422得x1?，y1? 221?4k1?4k24k422?2同理可求得x2，y2 ?2k?4k?411(1?k2)221?kx11?2x2=2 ?AOB面积S? ………………8分 2k(1?4k2)(k2?4)令1?k2?t(t?1)则
t21S?2?2 994t2?9t?9?2??4tt991125254令g(t)??2??4??9(?)2?(t?1) 所以4?g(t)?，即?S?1
ttt24454当k?0时，可求得S?1,故?S?1，
54 故S的最小值为，最大值为1. ……12分
5
18（本小题满分12分）
xyxyy2x2设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的两点，已知向量m?(1,1),n?(2,2),若m?n?0且椭圆
babaab的离心率e=
3
,短轴长为2，O为坐标原点. 2
[来源:Zxxk.Com]（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
ca2?b23y2?x2?1 4分 ??a?2,c?3椭圆的方程为解：2b?2.b?1,e??4aa2
(2) ①当直线AB斜率不存在时，即x1?x2,y1??y2,由m?n?0
y12x??0?y12?4x12????5分
44x1222又A(x1,y1)在椭圆上，所以x1??1?x1?,y1?2
4211s?x1y1?y2?x12y1?1
2221 8
所以三角形的面积为定值.??6分
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
?y?kx?b?2kb?2222 ?(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x??y1222k?4??x?1?4b2?4222
x1x2?2 ，?=(2kb)?4(k+4)(b?4)>0?????8分而m?n?0,
k?4yy(kx?b)(kx2?b)x1x2?12?0?x1x2?1?0代入整理得:44 222b?k?4 ?????10分
1|b|1|b|4k2?4b2+164b22S=|AB|=|b|(x1+x2)?4x1x2===1 21+k222(k2+4)2|b|综上三角形的面积为定值1.??…………………12分
20.已知函数f(x)的导数f'(x)?3x2?3ax， f(0)?b．a，b为实数，1?a?2． 1]上的最小值、 (1) 若f(x)在区间[?1，最大值分别为?2、1，求a、b的值； (2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1） 处的切线方程；
(3) 设函数F(x)?[f'(x)?6x?1]?e2x，试判 断函数F(x)的极值点个数． 解：(1) 由已知得，f(x)?x3?∵x?[?1, 1]，1?a?2，
∴ 当x?[?1, 0)时，f?(x)?0，f(x)递增；当x?(0, 1]时，f?(x)?0，f(x) 递减． ∴ f(x)在区间[?1, 1]上的最大值为f(0)?b，∴b?1．
33又f(1)?1?a?1?2?a，
2233f(?1)??1?a?1??a，
22∴ f(?1)?f(1)．
443由题意得f(?1)??2，即?a??2，得a?． 故a?，b?1为所求．
332322(2) 由 (1) 得f(x)?x?2x?1，f?(x)?3x?4x，点P(2, 1)在曲线f(x)上．
32ax?b， 由f?(x)?0，得x1?0，x2?a． 2当切点为P(2, 1)时，切线l的斜率k?f?(x)|x?2?4， ∴ l的方程为y?1?4(x?2)，
9
即4x?y?7?0． (3
22xF(x)?(3x2?3ax?6x?1)?e2x???3x?3(a?2)x?1???e
22x?F?(x)??6x?3(a?2)??e2x?2?3x?3(a?2)x?1?e??
?[6x?6(a?3)x?8?3a]?e222x
二次函数y?6x?6(a?3)x?8?3a的判别式为
2??36(a?3)2?24(8?3a)?12(3a2?12a?11)?12??3(a?2)?1??令??0，得：
13333(a?2)2?,2??a?2?.令??0，得a?2?,或a?2?. ∵e2x?0，1?a?2，
333333∴当2－?a?2时，F?(x)?0，函数F(x)为单调递增，极值点个数为0；
33当1?a?2?时，此时方程F?(x)?0有两个不相等的实数根，
3根据极值点的定义，可知函数F(x)有两个极值点．
21(本小题满分12分)
x2y2设F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为
ab椭圆的长轴，已知|MN|?8，且|PM|?2|MF|． (1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点
A、B求证：∠AFM =∠BFN；
(3) 求三角形ABF面积的最大值．
解：(1) ∵ |MN|?8 ∴ a = 4 又∵ | PM | = 2 | MF |得
a212?a?2(a?c)即2e2?a3e?1?0?e?或e?121(舍去)又?a?2(a?c3?|PM|?2|MF|得2)即2e?3e?1?0?c?或e?1(舍去)?c?2cb2?a2?c2?122
x2y2?椭圆的标准方程为??11612
(2) 当AB的斜率为0时，显然?AFM??BFN?0.满足题意
当AB的斜率不为0时，设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB方程为x?my?8, 代
入
椭
圆
方
程
整
理
得
(3m2?4)y2?48my?144?0则
??(48m)2?4?144(3m2?4),y1?y2??kAF?kBF48m144y?y?123m2?43m2?4
yyy1y22my1y2?6(y1?y2)?1?2????0x1?2x2?2my1?6my2?6(my1?6)(my2?6)
?kAF?kBF?0,从而?AFM??BFN. 综上可知：恒有?AFM??BFN
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2012年高考数学压轴大题及答案详解
